Descreva geometricamente o funcionamento de cada um dos métodos a seguir:
Método da Posição Falsa

Passo 1

O enunciado pede a descrição geométrica do método da Posição Falsa, que é um procedimento iterativo para aproximar raízes de uma função contínua f. Vamos supor que temos um intervalo [a,b]subsetR tal que f(a) e f(b) tenham sinais opostos. Para entender geometricamente, precisamos saber como se traça uma reta secante num gráfico e como a sua interseção com o eixo x fornece uma estimativa de raiz.

Passo 2

No gráfico de y=f(x), marcamos os pontos l(a,f(a)r) e l(b,f(b)r). Como f(a)cdot f(b)<0, a reta que une esses dois pontos necessariamente cruza o eixo x. Essa reta secante serve como aproximação linear da curva entre a e b.

Passo 3

O ponto de interseção dessa reta secante com o eixo x é denotado por xr e dado por
xr ;=; b ;-;f(b),l(b - ar)f(b)-f(a)
Geometricamente, xr é o abscissa do ponto onde a secante corta y=0, oferecendo uma estimativa da raiz de f.

Passo 4

Em seguida, avaliamos f(xr). Se f(a)cdot f(xr)<0, mantemos o intervalo [a,xr]; caso contrário, escolhemos [xr,b]. Geometricamente, isso equivale a “encurtar” o segmento horizontal em que a raiz viva, sempre preservando extremos de sinais opostos. Repetimos o traçado de novas secantes sobre o intervalo atualizado até que a convergência seja atingida.

Resposta

Geometricamente, o método da Posição Falsa consiste em, a cada iteração, unir por uma reta os pontos l(a,f(a)r) e l(b,f(b)r), usar a interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação da raiz, e então atualizar o intervalo de busca mantendo sempre extremos cujos valores de f têm sinais contrários. Com isso, as secantes sucessivas “encurtam” o intervalo até convergir para o zero de f.

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