Descreva geometricamente o funcionamento de cada um dos métodos a seguir:
Método do Ponto Fixo

Passo 1

O enunciado pede uma descrição geométrica do método do Ponto Fixo, que é um método iterativo para resolver equações da forma
f(x)=0
reescrevendo-as como
x = g(x)
e gerando a sequência
xn+1 = g(xn)
Vamos ver como isso se interpreta no gráfico das funções y=g(x) e y=x.

Passo 2

No plano cartesiano, desenhamos a curva
y = g(x)
e a reta bissetriz
y = x
  1. Escolhemos um palpite inicial x0 no eixo x.
  2. A partir de l(x0,0r), subimos verticalmente até encontrar a curva y=g(x). O ponto encontrado tem coordenadas l(x0,g(x0)r).
  3. Dali, andamos horizontalmente até a reta y=x. Esse encontro tem coordenadas l(g(x0),g(x0)r), e define o próximo x1 = g(x0).
  4. Repetimos esse “sobe na curva, corre na bissetriz” para gerar os x2, x3,dots, formando uma espécie de trajetória em “zigue-zague” entre a curva e a reta.

Passo 3

Geometricamente, a convergência exige que g seja um CONTRAÇÃO numa vizinhança do ponto fixo x^*, isto é,
l|g'(x)r|<1para xapprox x^*
No gráfico, isso significa que a curva y=g(x) está mais “horizontal” que a bissetriz em torno de x^*, de modo que cada zigue-zague leva o ponto cada vez mais perto de l(x^*,x^*r).

Resposta

Geometricamente, o método do Ponto Fixo consiste em alternar projeções verticais sobre a curva y=g(x) e projeções horizontais sobre a reta y=x, de modo a aproximar-se iterativamente da interseção dessas duas curvas, que é o ponto fixo x^*. A condição lvert g'(x)rvert<1 garante que essa trajetória em “zigue-zague” se encurte a cada passo, levando à convergência.

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