Descreva geometricamente o funcionamento de cada um dos métodos a seguir:
Método do Ponto Fixo
Passo 1
O enunciado pede uma descrição geométrica do método do Ponto Fixo, que é um método iterativo para resolver equações da forma
reescrevendo-as como
e gerando a sequência
Vamos ver como isso se interpreta no gráfico das funções e .
Passo 2
No plano cartesiano, desenhamos a curva
e a reta bissetriz
Escolhemos um palpite inicial no eixo .
A partir de , subimos verticalmente até encontrar a curva . O ponto encontrado tem coordenadas .
Dali, andamos horizontalmente até a reta . Esse encontro tem coordenadas , e define o próximo .
Repetimos esse “sobe na curva, corre na bissetriz” para gerar os , formando uma espécie de trajetória em “zigue-zague” entre a curva e a reta.
Passo 3
Geometricamente, a convergência exige que seja um CONTRAÇÃO numa vizinhança do ponto fixo , isto é,
No gráfico, isso significa que a curva y=g(x) está mais “horizontal” que a bissetriz em torno de x^*, de modo que cada zigue-zague leva o ponto cada vez mais perto de l(x^*,x^*r).
Resposta
Geometricamente, o método do Ponto Fixo consiste em alternar projeções verticais sobre a curva y=g(x) e projeções horizontais sobre a reta y=x, de modo a aproximar-se iterativamente da interseção dessas duas curvas, que é o ponto fixo x^*. A condição lvert g'(x)rvert<1 garante que essa trajetória em “zigue-zague” se encurte a cada passo, levando à convergência.