Descreva geometricamente o funcionamento de cada um dos métodos a seguir:
Método da Secante

Passo 1

O enunciado pede a descrição geométrica do método da secante, que é um procedimento iterativo para aproximar raízes da equação ,f(x)=0. Para isso, vamos usar dois pontos iniciais no gráfico de f e traçar a reta que os une (secante), tomando a interseção dessa reta com o eixo x como a próxima aproximação da raiz.

Passo 2

Escolhemos dois valores iniciais ,x0 e ,x1 próximos da raiz desejada. No plano xy, marcamos os pontos
P0 = l(x0,,f(x0)r), P1 = l(x1,,f(x1)r)

Passo 3

Traçamos a reta secante que passa por P0 e P1. A equação dessa reta, em forma ponto–inclinação, é
y - f(x1) = f(x1)-f(x0)x1-x0,(x - x1)
Geometricamente, ela “aproxima” o arco da curva de f entre x0 e x1.

Passo 4

Encontramos o ponto onde essa reta corta o eixo x (ou seja, onde y=0). Fazendo y=0 na equação da reta e resolvendo para x, obtemos a fórmula da iteração
x2 = x1 - f(x1),x1 - x0,f(x1)-f(x0),
Geometricamente, x2 é o abscissa da interseção da secante com o eixo x.

Passo 5

Repetimos o processo: a cada passo usamos os dois últimos pontos ,(xn-1,f(xn-1)) e ,(xn,f(xn)), traçamos sua secante e calculamos
xn+1 = xn - f(xn),xn - xn-1,f(xn)-f(xn-1),
Geometricamente, a reta vai “se ajustando” melhor à curva de f e a interseção com o eixo x converge para a raiz.

Passo 6

O critério de parada pode ser, por exemplo,
l|xn+1-xnr|<varepsilon ou l|f(xn+1)r|<varepsilon,
com varepsilon pequeno. Geometricamente, isso significa que a secante já está quase tangente à curva em torno da raiz.

Resposta

Geometricamente, o método da secante aproxima a curva de f por segmentos de reta (secantes) usando dois pontos consecutivos, e toma o ponto de interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação da raiz de ,f(x)=0. Iterando esse processo, as secantes passam a “se encaixar” cada vez melhor à curva, levando à convergência para a raiz.

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