Descreva geometricamente o funcionamento de cada um dos métodos a seguir:
Método da Secante
Passo 1
O enunciado pede a descrição geométrica do método da secante, que é um procedimento iterativo para aproximar raízes da equação . Para isso, vamos usar dois pontos iniciais no gráfico de e traçar a reta que os une (secante), tomando a interseção dessa reta com o eixo como a próxima aproximação da raiz.
Passo 2
Escolhemos dois valores iniciais e próximos da raiz desejada. No plano , marcamos os pontos
Passo 3
Traçamos a reta secante que passa por e . A equação dessa reta, em forma ponto–inclinação, é
Geometricamente, ela “aproxima” o arco da curva de entre e .
Passo 4
Encontramos o ponto onde essa reta corta o eixo (ou seja, onde ). Fazendo na equação da reta e resolvendo para , obtemos a fórmula da iteração
Geometricamente, é o abscissa da interseção da secante com o eixo .
Passo 5
Repetimos o processo: a cada passo usamos os dois últimos pontos e , traçamos sua secante e calculamos
Geometricamente, a reta vai “se ajustando” melhor à curva de e a interseção com o eixo converge para a raiz.
Passo 6
O critério de parada pode ser, por exemplo,
com varepsilon pequeno. Geometricamente, isso significa que a secante já está quase tangente à curva em torno da raiz.
Resposta
Geometricamente, o método da secante aproxima a curva de f por segmentos de reta (secantes) usando dois pontos consecutivos, e toma o ponto de interseção dessa reta com o eixo x como nova aproximação da raiz de ,f(x)=0. Iterando esse processo, as secantes passam a “se encaixar” cada vez melhor à curva, levando à convergência para a raiz.