A tabela a seguir relaciona o calor específico da água e a temperatura.
temperatura (em |c|c|c|c|c|c|c|c| hline temperatura (em $^o$ C) & 20 & 25 & 30 & 35 & 40 & 45 & 50 hline calor específico & 0.99907 & 0.99852 & 0.99826 & 0.99818 & 0.99828 & 0.99849 & 0.99878 hline C) 20 25 30 35 40 45 50
calor específico 0.99907 0.99852 0.99826 0.99818 0.99828 0.99849 0.99878
Resolva os itens abaixo usando interpolação com polinômio de grau 2:
(a) Calcule o calor específico da água a 27^circ C.
(b) A temperatura para a qual o calor específico é 0.99837 .

Passo 1

O enunciado apresenta a tabela de calor específico c da água em função da temperatura T em ^circC:
c|ccccccc T,(^circC) & 20 & 25 & 30 & 35 & 40 & 45 & 50hline c & 0,99907 & 0,99852 & 0,99826 & 0,99818 & 0,99828 & 0,99849 & 0,99878
Queremos estimar, por interpolação polinomial de grau 2, (a) c(27^circC) e (b) encontrar T tal que c=0,99837. Para isso, vamos usar o método de diferenças divididas de Newton com três pontos próximos aos valores buscados.

Passo 2

Escolhemos os três pontos centrais
(x1,y1)=(25,0,99852),
(x2,y2)=(30,0,99826),
(x3,y3)=(35,0,99818).
Calculamos as diferenças divididas:
f[x1,x2] =y2-y1x2-x1 =0,99826-0,9985230-25=-5,2times10^-5,
f[x2,x3] =y3-y2x3-x2 =0,99818-0,9982635-30=-1,6times10^-5,
f[x1,x2,x3] =f[x2,x3]-f[x1,x2]x3-x1 =-1,6times10^-5-(-5,2times10^-5)35-25 =3,6times10^-6
O polinômio de Newton é
p(T) =y1 +f[x1,x2],(T-x1) +f[x1,x2,x3],(T-x1)(T-x2)

Passo 3

Para (a) avaliamos p em T=27:
p(27) =0,99852 +(-5,2times10^-5)(27-25) +(3,6times10^-6)(27-25)(27-30) =0,9983944dots approx0,99839

Passo 4

Para (b) impomos p(T)=0,99837. Definindo s=T-25, obtemos a equação
0,99852 -5,2times10^-5,s +3,6times10^-6,s(s-5) =0,99837,
que se rearranja em
3,6times10^-6s^2 -7,0times10^-5s +1,5times10^-4=0
Multiplicando por 10^6 e simplificando dá
3s^2-58,3333,s+125=0,
cuja solução é
sapprox2,45ou sapprox16,99
Como T=s+25 e buscamos a raiz no intervalo [25,35], tomamos sapprox2,45, logo
Tapprox27,45^circC

Resposta

(a) c(27^circC)approx0,99839
(b) Tapprox27,45^circC

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