Descreva o método da extrapolação de Richardson.
Passo 1
Beleza! O exercício pede para a gente “descrever o método da extrapolação de Richardson”. Isso cai em Cálculo Numérico / Análise Numérica, mais especificamente na parte de técnicas para melhorar a precisão de aproximações (por exemplo, de derivadas, integrais, soluções de EDOs etc.). Para resolver, vamos precisar entender:
- Como um método numérico típico gera uma aproximação
com erro que depende de um parâmetro . - A ideia de expandir esse erro em potências de
(via série de Taylor). - Como combinar duas aproximações em diferentes malhas (por exemplo,
e ) para anular o termo de maior ordem do erro.
Passo 2
Primeiro, a base teórica: quase todo método numérico produz algo como
onde
-
é a nossa aproximação dependendo de um passo , -
é o valor exato que queremos, -
é uma constante desconhecida, -
é a ordem de convergência (por exemplo, se o erro principal for proporcional a ).
Essa expansão vem de uma série de Taylor ou de uma análise de erro detalhada: o método entrega um erro do tipo
mais termos de ordem superior.
Passo 3
A mágica da extrapolação de Richardson é pegar duas aproximações com passos diferentes, digamos
e
:
Repare que
. Então:
Agora, a gente combina essas duas para “eliminar” o termo
. Faz assim:
Substituindo as expansões:
Ou seja, o termo em
some e sobra apenas erro de ordem
(ou superior).
Passo 4
Em palavras de amigo:
- Você começa com um método que tem erro ~
. - Calcula com passo
e com passo . - Junta essas duas aproximações na fórmula acima.
- Ganha um “upgrade” na precisão: o novo erro é da ordem
(ou melhor).
Isso dá pra repetir se quiser aumentar ainda mais a ordem: usar
,
,
, montar uma tabela triangular (como em Romberg) e extrapolar cada vez mais alto.
Resposta
O método da extrapolação de Richardson consiste em:
- Reconhecer que uma aproximação
tem erro principal . - Avaliar
e . - Combinar essas duas estimativas via
para eliminar o erro de ordem
e obter uma aproximação com erro de ordem
.