Descreva o método da extrapolação de Richardson.

Passo 1

Beleza! O exercício pede para a gente “descrever o método da extrapolação de Richardson”. Isso cai em Cálculo Numérico / Análise Numérica, mais especificamente na parte de técnicas para melhorar a precisão de aproximações (por exemplo, de derivadas, integrais, soluções de EDOs etc.). Para resolver, vamos precisar entender:
  1. Como um método numérico típico gera uma aproximação com erro que depende de um parâmetro .
  2. A ideia de expandir esse erro em potências de (via série de Taylor).
  3. Como combinar duas aproximações em diferentes malhas (por exemplo, e ) para anular o termo de maior ordem do erro.

Passo 2

Primeiro, a base teórica: quase todo método numérico produz algo como
A(h) = A + C,h^p + O(h^p+1),
onde
  • é a nossa aproximação dependendo de um passo ,
  • é o valor exato que queremos,
  • é uma constante desconhecida,
  • é a ordem de convergência (por exemplo, se o erro principal for proporcional a ).
Essa expansão vem de uma série de Taylor ou de uma análise de erro detalhada: o método entrega um erro do tipo mais termos de ordem superior.

Passo 3

A mágica da extrapolação de Richardson é pegar duas aproximações com passos diferentes, digamos A(h) = A + C,h^p + O(h^p+1), A(h/2) = A + C,(h/2)^p + O(h^p+1) e A(h/2) = A + C,h^p2^p + O(h^p+1) :
ARichardson = 2^p,A(h/2) - A(h)2^p - 1
Repare que 2^pl(A + C,h^p/2^p + O(h^p+1)r) ;-;l(A + C,h^p + O(h^p+1)r)2^p - 1 = A + O(h^p+1) . Então:
Agora, a gente combina essas duas para “eliminar” o termo . Faz assim:
Substituindo as expansões:
Ou seja, o termo em some e sobra apenas erro de ordem (ou superior).

Passo 4

Em palavras de amigo:
  1. Você começa com um método que tem erro ~ .
  2. Calcula com passo e com passo .
  3. Junta essas duas aproximações na fórmula acima.
  4. Ganha um “upgrade” na precisão: o novo erro é da ordem (ou melhor).
Isso dá pra repetir se quiser aumentar ainda mais a ordem: usar , , , montar uma tabela triangular (como em Romberg) e extrapolar cada vez mais alto.

Resposta

O método da extrapolação de Richardson consiste em:
  1. Reconhecer que uma aproximação Arm Rich = 2^p,A(h/2) - A(h)2^p - 1, tem erro principal .
  2. Avaliar e .
  3. Combinar essas duas estimativas via
para eliminar o erro de ordem e obter uma aproximação com erro de ordem .

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