Utilize o Métodos de Runge-Kutta de segunda ordem com a aplicação de Ralston (a2 = 2/3) para integrar a função abaixo, de x=0 a x=1 com tamanho do passo 1 e y(0)=2.
y^prime=4 e^0,8 x-0,5 y

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um problema de valor inicial de uma equação diferencial ordinária (EDO). O enunciado diz:
• EDO:
y' ;=; 4e^0,8x ;-; 0,5,y,
• Condição inicial: ,
• Intervalo: de até com passo ,
• Método: Runge–Kutta de 2ª ordem, variante de Ralston (onde ).
O que vamos precisar: entender a fórmula do RK2-Ralston, calcular os “k1” e “k2” e depois montar .

Passo 2

Primeiro, escrevemos a função
f(x,y) ;=; 4e^0,8x - 0,5,y
No método Ralston de 2ª ordem temos:
k1 ;=; f(xn,yn), k2 ;=; f!l(xn + a2h,;yn + a2h,k1r),
com yn+1 ;=; yn + hl(b1,k1 + b2,k2r), . Depois combinamos:
onde para Ralston e .

Passo 3

Agora, aplicando em k1 ;=; f(0,2) ;=; 4e^0,8cdot 0 - 0,5cdot 2 ;=; 4cdot 1 - 1 ;=; 3 , , :
  1. Calcular

Passo 4

  1. Em seguida:
x1^* = x0 + tfrac23,h = tfrac23, y1^* = y0 + tfrac23,h,k1 = 2 + tfrac23cdot3 = 2 + 2 = 4
Então
k2 = fl(tfrac23,,4r) = 4e^0,8cdot23 - 0,5cdot4 = 4e^0,5333dots - 2 approx 4cdot1,704 - 2 = 6,816 - 2 = 4,816

Passo 5

  1. Por fim, combinamos y1 = y0 + hl(tfrac14,k1 + tfrac34,k2r) = 2 + l(tfrac14cdot3 + tfrac34cdot4,816r) = 2 + l(0,75 + 3,612r) = 2 + 4,362 = 6,362 e na fórmula de Ralston:

Resposta

Aproximadamente, usando Runge–Kutta 2ª ordem (Ralston) com passo 1, obtemos
y(1) approx 6,362

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