Determine a evolução da velocidade e a posição do saltado de bungee jumping em queda livre por meio do método de EULER ao longo de 6 segundos. Considere que no tempo inicial a velocidade e a posição são nulas.
Utilize um intervalo de tempo de 2 s e considere a aceleração da gravidade de 9,81 m / s^2, a massa do saltador de 75,0 kg e o coeficiente de arrasto de 0,25 kg / m.
Utilize:
d xd t=v d vd t=g-c dm v^2
Sendo, x, v e g a posição, velocidade e massa do saltador, g a aceleração da gravidade, e cd o coeficiente de arrasto. Apresente para todo instante de tempo calculado os erros aproximados e verdadeiros para ambos os métodos, dadas as soluções analíticas abaixo:
v(t)=raizg mc d * tanh (raizg c dm t)
d vd t=g-c dm v^2
Apresente gráficos da evolução do deslocamento e da velocidade ao longo do tempo e uma tabela com os resultados. Apresente uma análise quanto a utilização e precisão do método de Euler.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular rapidinho o que a questão pede.
– Conteúdo: equações de movimento em queda livre com arrasto, resolvidas por método de Euler + comparação com a solução analítica.
– O que temos:
• ODEs
vrm an(t)=raizg,mcd;tanh!l(raiztfracg,cdm,tr), xrm an(t)=mcdln!l[cosh!l(raiztfracg,cdm,tr)r]
• Condições iniciais:
• Parâmetros:
• Intervalo de tempo , calcular de até s
• Soluções analíticas dadas:
• Queremos: evolução de e pelo Euler, erros aproximado (diferença entre passos) e verdadeiro (diferença para a solução analítica), tabela, gráficos e análise de precisão.

Passo 2

Teoria do método de Euler (para um passo de tamanho yn+1 = yn + h,f(tn,yn) ):
Se temos e , então
Aqui vamos aplicar em cada iteração:
  1. ,
  2. .

Passo 3

Calcular constantes úteis:
k=cdm=0,2575=0,0033333;m^-1, alpha=raizg,cdm=raiz9,81cdot0,0033333=0,1808;s^-1, vinfty=raizg,mcd=galpha=54,25;m/s
Pontos de cálculo: , , , (com s).

Passo 4

Aplicando Euler para e :
Inicial: .
  • Em :

  • Em :

  • Em :

Passo 5

Solução analítica e erros:
Para cada vrm an(tn)=vinfty,tanh(alpha,tn), xrm an(tn)=mcdln!l[cosh(alpha,tn)r] calculamos
E definimos
– erro aproximado em : ,
– erro aproximado em : ,
– erro verdadeiro em : ,
– erro verdadeiro em : .

Passo 6

Tabela resumindo tudo (valores aproximados via Euler, verdadeiros, erros):
(s) (m/s) (m/s) (m) (m)
0 0,00 0,000 0,00 0,000
2 19,62 1,918 19,62 17,702 0,00 19,20 0,00 19,20
4 36,67 3,431 17,05 33,239 39,24 71,43 39,24 32,19
6 47,32 4,399 10,65 42,923 112,58 145,22 73,34 32,64

Resposta

– O método de Euler, com passo grande ( s), superestima demais a velocidade e o deslocamento (erros verdadeiros chegam a m/s para e m para ).
– Os gráficos (reta por segmentos em Euler x curva suave da analítica) mostram que Euler “explode” pra cima antes de se aproximar do terminal.
– Conclusão: Euler é simples mas precisa de passo muito menor para ficar razoavelmente exato aqui.

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