Determine a evolução da velocidade e a posição do saltado de bungee jumping em queda livre por meio do método de EULER ao longo de 6 segundos. Considere que no tempo inicial a velocidade e a posição são nulas.
Utilize um intervalo de tempo de 2 s e considere a aceleração da gravidade de
, a massa do saltador de
e o coeficiente de arrasto de
.
Utilize:
Sendo, x, v e g a posição, velocidade e massa do saltador, g a aceleração da gravidade, e cd o coeficiente de arrasto. Apresente para todo instante de tempo calculado os erros aproximados e verdadeiros para ambos os métodos, dadas as soluções analíticas abaixo:
Apresente gráficos da evolução do deslocamento e da velocidade ao longo do tempo e uma tabela com os resultados. Apresente uma análise quanto a utilização e precisão do método de Euler.
Utilize um intervalo de tempo de 2 s e considere a aceleração da gravidade de
Utilize:
Passo 1
Beleza, vamos recapitular rapidinho o que a questão pede.
– Conteúdo: equações de movimento em queda livre com arrasto, resolvidas por método de Euler + comparação com a solução analítica.
– O que temos:
• ODEs
• Condições iniciais:
• Parâmetros:
• Intervalo de tempo , calcular de
até
s
• Soluções analíticas dadas:
– Conteúdo: equações de movimento em queda livre com arrasto, resolvidas por método de Euler + comparação com a solução analítica.
– O que temos:
• ODEs
• Condições iniciais:
• Parâmetros:
• Intervalo de tempo
• Soluções analíticas dadas:
• Queremos: evolução de
e
pelo Euler, erros aproximado (diferença entre passos) e verdadeiro (diferença para a solução analítica), tabela, gráficos e análise de precisão.
Passo 2
Teoria do método de Euler (para um passo de tamanho
):
Se temos e
, então
Se temos
Aqui vamos aplicar em cada iteração:
-
, -
.
Passo 3
Calcular constantes úteis:
Pontos de cálculo:
,
,
,
(com
s).
Passo 4
Aplicando Euler para
e
:
Inicial: .
Inicial:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Passo 5
Solução analítica e erros:
Para cada calculamos
Para cada
E definimos
– erro aproximado em :
,
– erro aproximado em :
,
– erro verdadeiro em :
,
– erro verdadeiro em :
.
– erro aproximado em
– erro aproximado em
– erro verdadeiro em
– erro verdadeiro em
Passo 6
Tabela resumindo tudo (valores aproximados via Euler, verdadeiros, erros):
|
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---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 0,00 | 0,000 | – | – | 0,00 | 0,000 | – | – |
2 | 19,62 | 1,918 | 19,62 | 17,702 | 0,00 | 19,20 | 0,00 | 19,20 |
4 | 36,67 | 3,431 | 17,05 | 33,239 | 39,24 | 71,43 | 39,24 | 32,19 |
6 | 47,32 | 4,399 | 10,65 | 42,923 | 112,58 | 145,22 | 73,34 | 32,64 |
Resposta
– O método de Euler, com passo grande (
s), superestima demais a velocidade e o deslocamento (erros verdadeiros chegam a
m/s para
e
m para
).
– Os gráficos (reta por segmentos em Euler x curva suave da analítica) mostram que Euler “explode” pra cima antes de se aproximar do terminal.
– Conclusão: Euler é simples mas precisa de passo muito menor para ficar razoavelmente exato aqui.
– Os gráficos (reta por segmentos em Euler x curva suave da analítica) mostram que Euler “explode” pra cima antes de se aproximar do terminal.
– Conclusão: Euler é simples mas precisa de passo muito menor para ficar razoavelmente exato aqui.