Calcule o determinante e a matriz transposta de cada uma das matrizes a seguir.
B=(ccc1 & 3 & 4 5 & 2 & -3 1 & 4 & 2)

Passo 1

Beleza, vamos dar um resumão do que rolou: o exercício pede pra gente calcular o determinante e a matriz transposta da matriz
B = 1 & 3 & 4 [6pt] 5 & 2 & -3 [6pt] 1 & 4 & 2
Isso é conteúdo de Álgebra Linear:
  • Determinante de matriz .
  • Transposta de matriz.
    O que precisamos saber:
  1. Como calcular o determinante de uma (pode ser pela regra de Sarrus ou por cofatores).
  2. O que significa “transpor” uma matriz (trocar linhas por colunas).

Passo 2

Vamos começar pelo determinante.
Uma forma bem prática é usar a regra de Sarrus, que diz: se
A = a & b & c [3pt] d & e & f [3pt] g & h & i ,
então
det(A) = aei + bfg + cdh ;-; (ceg + afh + bdi)
É só seguir esse esquema de somar três produtos “na diagonal” e subtrair outros três produtos “na diagonal inversa”.

Passo 3

Aplicando isso em
B = 1 & 3 & 4 [3pt] 5 & 2 & -3 [3pt] 1 & 4 & 2 ,
identificamos
a=1,;b=3,;c=4,; d=5,;e=2,;f=-3,; g=1,;h=4,;i=2
Então:
  1. Soma das diagonais “para frente”
aei + bfg + cdh = 1cdot2cdot2 ;+; 3cdot(-3)cdot1 ;+; 4cdot5cdot4 = 4 - 9 + 80 = 75
  1. Soma das diagonais “para trás”
ceg + afh + bdi = 4cdot2cdot1 ;+; 1cdot(-3)cdot4 ;+; 3cdot5cdot2 = 8 - 12 + 30 = 26
Logo
det(B) = 75 - 26 = 49

Passo 4

Agora a transposta. A ideia é simples: em a primeira linha vira a primeira coluna, a segunda linha vira a segunda coluna, e assim por diante. Em fórmula, .

Passo 5

Em (1,;3,;4), (5,;2,;-3), (1,;4,;2) temos as linhas
B^T = 1 & 5 & 1 [3pt] 3 & 2 & 4 [3pt] 4 & -3 & 2
Então em essas viram colunas:

Resposta

det(B) = 49, B^T = 1 & 5 & 1 [3pt] 3 & 2 & 4 [3pt] 4 & -3 & 2

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