Descreve as estruturas algébricas dadas, respondendo às questões especificadas em baixo.
Seja G=\left(\mathbb{Z}_{30}^{*}, \cdot\right) o grupo multiplicativo das classes residuais módulo 30. Introduzimos uma rerlação
\varrho \subseteq G^{2},
\bar{a} \varrho \bar{b} \stackrel{\text { def }}{\Leftrightarrow} \exists \bar{c} \in{\overline{1}, \overline{29}}: \bar{a} \cdot \bar{c}=\bar{b}.
(a) Verifique se a relação \varrho é de equivalência.
(b) Descreve a partição G / \varrho.

Passo 1

O enunciado fornece o grupo multiplicativo
\;G=(\mathbb{Z}_{30}^{*},\cdot),
cujo conjunto subjacente é
\{\bar{1},\bar{7},\bar{11},\bar{13},\bar{17},\bar{19},\bar{23},\bar{29}\}
e define a relação
\varrho=\{(\bar{a},\bar{b})\mid \exists\,\bar{c}\in\{\bar{1},\bar{29}\}:\bar{a}\cdot\bar{c}=\bar{b}\}.
Vamos usar os conceitos de relação de equivalência (reflexiva, simétrica e transitiva) e, em seguida, descrever a partição G/\varrho.

Passo 2

Verificamos as três propriedades:
  • Reflexividade: para todo \bar{a}\in G tomamos \bar{c}=\bar{1}, então \bar{a}\cdot\bar{1}=\bar{a}, logo \bar{a}\varrho\bar{a}.
  • Simetria: se \bar{a}\varrho\bar{b}, existe \bar{c}\in\{\bar{1},\bar{29}\} tal que \bar{b}=\bar{a}\cdot\bar{c}.
    • Se \bar{c}=\bar{1}, então \bar{b}=\bar{a} e também \bar{a}=\bar{b}\cdot\bar{1}.
    • Se \bar{c}=\bar{29}, note que \bar{29}^{2}=\bar{1} em \mathbb{Z}_{30}^{*}, então \bar{a}=\bar{b}\cdot\bar{29}.
      Em ambos os casos \bar{b}\varrho\bar{a}.
  • Transitividade: se \bar{a}\varrho\bar{b} via \bar{c}_1 e \bar{b}\varrho\bar{d} via \bar{c}_2, então
    \bar{d}=\bar{b}\cdot\bar{c}_2=(\bar{a}\cdot\bar{c}_1)\cdot\bar{c}_2=\bar{a}\cdot(\bar{c}_1\cdot\bar{c}_2).
    Como \bar{c}_1,\bar{c}_2\in\{\bar{1},\bar{29}\} e esse conjunto é fechado por produto, tem-se \bar{c}_1\cdot\bar{c}_2\in\{\bar{1},\bar{29}\}.
    Logo \bar{a}\varrho\bar{d}.
Portanto, \varrho é de equivalência.

Passo 3

Para descrever as classes de equivalência, note que multiplicar por \bar{29} em \mathbb{Z}_{30} equivale a enviar \bar{a}\mapsto -\bar{a}. Assim cada classe é
\{\bar{a},-\bar{a}\}. Como \mathbb{Z}_{30}^{*}=\{\bar{1},\bar{7},\bar{11},\bar{13},\bar{17},\bar{19},\bar{23},\bar{29}\}, temos os pares
-\bar{1}=\bar{29},\; -\bar{7}=\bar{23},\; -\bar{11}=\bar{19},\; -\bar{13}=\bar{17}.

Passo 4

Logo, a partição G/\varrho consiste das quatro classes
G/\varrho=\Bigl\{\{\bar{1},\bar{29}\},\{\bar{7},\bar{23}\},\{\bar{11},\bar{19}\},\{\bar{13},\bar{17}\}\Bigr\}.

Resposta

(a) \varrho é de equivalência.
(b)
G/\varrho=\Bigl\{\{\bar{1},\bar{29}\},\{\bar{7},\bar{23}\},\{\bar{11},\bar{19}\},\{\bar{13},\bar{17}\}\Bigr\}.

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