Describe the steps you would use to estimate the value of raiz[3]7 using quadratic interpolation. Then estimate this value.

Passo 1

O exercício pede pra gente estimar usando interpolação quadrática. A matéria envolvida é interpolação polinomial (grau 2), em particular a fórmula de Lagrange. Para resolver vamos:
  1. escolher três pontos em que conhecemos exatamente ;
  2. montar o polinômio interpolador de grau 2;
  3. avaliar esse polinômio em .

Passo 2

Escolhendo 3 pontos fáceis de (y0,g0)=(1,1), (y1,g1)=(8,2), (y2,g2)=(27,3) :
P(y)=sumi=0^2 gi,Li(y)
A ideia da interpolação de Lagrange é construir um polinômio
onde cada base satisfaz (é 1 se e 0 caso contrário).

Passo 3

As funções de base de Lagrange são:
L0(y)=(y-y1)(y-y2)(y0-y1)(y0-y2), L1(y)=(y-y0)(y-y2)(y1-y0)(y1-y2), L2(y)=(y-y0)(y-y1)(y2-y0)(y2-y1)
Logo o polinômio interpolador fica
P(y)=1cdot L0(y)+2cdot L1(y)+3cdot L2(y)

Passo 4

Agora avaliamos em L0(7)=(7-8)(7-27)(1-8)(1-27) =(-1)(-20)(-7)(-26)=20182=1091, . Primeiro cada L1(7)=(7-1)(7-27)(8-1)(8-27) =6cdot(-20)7cdot(-19)=120133, :
L2(7)=(7-1)(7-8)(27-1)(27-8) =6cdot(-1)26cdot19=-3247
P(7)=1cdot1091+2cdot120133+3cdotl(-3247r) =1091+240133-9247 approx1,878
Então

Resposta

(pela interpolação quadrática).

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