Find the polynomial of least degree that interpolates the table
1.4
1.7
2.1
7
7
7
.
Use your answer to estimate the
value for
.
|
1.4 | 1.7 | 2.1 |
|
7 | 7 | 7 |
Passo 1
Beleza, o exercício nos dá três pontos:
E pede o polinômio de menor grau que interpola esses dados e, depois, usar esse polinômio pra estimar
em
.
Conteúdo: interpolação polinomial (por exemplo, fórmula de Lagrange). Vamos precisar saber como montar ou observar o polinômio que passa por pontos dados.
Conteúdo: interpolação polinomial (por exemplo, fórmula de Lagrange). Vamos precisar saber como montar ou observar o polinômio que passa por pontos dados.
Passo 2
Teoria rápida de Lagrange (sem pular etapas):
Para pontos
, existe um polinômio
de grau
que satisfaz
.
Em particular, em forma de Lagrange:
Para
Em particular, em forma de Lagrange:
Isso garante
. Aqui temos
, grau
.
Passo 3
Agora note um atalho: todos os
são iguais a 7!
Logo
Logo
Mas é um fato da base de Lagrange que
para todo
.
Então o polinômio fica simplesmente
Então o polinômio fica simplesmente
Passo 4
Pra estimar em
, é só calcular
Resposta
O polinômio de menor grau é
e, portanto, em
a estimativa de
é
.