Describe the steps you would use to estimate the value of
using cubic interpolation. Then estimate this value.
Passo 1
Beleza, o problema pede para a gente estimar
usando interpolação cúbica. Isso envolve construir um polinômio de grau até 3 que “passe” por quatro pontos conhecidos da curva
e avaliar esse polinômio em
. Vamos usar a forma de Lagrange para interpolação, já que é direta de aplicar e dá pra entender bem como cada ponto contribui.
O que precisamos:
- Escolher quatro valores de
perto de 7 cujas raízes cúbicas já conhecemos ou podemos calcular fácil. - Montar a fórmula de Lagrange e calcular cada base
. - Somar tudo para ter
.
Passo 2
Escolha dos pontos
Como está entre 1.9 e 2, faz sentido pegar pontos em volta de
mas parametrizados em termos da própria raiz:
t | 1.7 1.8 1.9 2.0
x=t³ | 4.913 5.832 6.859 8.000
Ou seja, nossos quatro pares são:
,
,
,
.
A ideia é achar um polinômio cúbico que satisfaça
.
Como
t | 1.7 1.8 1.9 2.0
x=t³ | 4.913 5.832 6.859 8.000
Ou seja, nossos quatro pares
A ideia é achar um polinômio cúbico
Passo 3
Fórmula de Lagrange
O polinômio de interpolação em Lagrange é
O polinômio de interpolação em Lagrange é
Cada
é 1 em
e 0 em todos os outros nós. Vamos calcular
para
.
Passo 4
Cálculo das bases
Denotando
x₀=4.913, x₁=5.832, x₂=6.859, x₃=8,
temos:
Denotando
x₀=4.913, x₁=5.832, x₂=6.859, x₃=8,
temos:
-
. -
-
-
Passo 5
Avaliar o polinômio
Agora é só montar
Agora é só montar