Describe the steps you would use to estimate the value of raiz[3]7 using cubic interpolation. Then estimate this value.

Passo 1

Beleza, o problema pede para a gente estimar usando interpolação cúbica. Isso envolve construir um polinômio de grau até 3 que “passe” por quatro pontos conhecidos da curva e avaliar esse polinômio em . Vamos usar a forma de Lagrange para interpolação, já que é direta de aplicar e dá pra entender bem como cada ponto contribui.
O que precisamos:
  • Escolher quatro valores de perto de 7 cujas raízes cúbicas já conhecemos ou podemos calcular fácil.
  • Montar a fórmula de Lagrange e calcular cada base .
  • Somar tudo para ter .

Passo 2

Escolha dos pontos
Como está entre 1.9 e 2, faz sentido pegar pontos em volta de mas parametrizados em termos da própria raiz:
t | 1.7 1.8 1.9 2.0
x=t³ | 4.913 5.832 6.859 8.000
Ou seja, nossos quatro pares são:
, , , .
A ideia é achar um polinômio cúbico que satisfaça .

Passo 3

Fórmula de Lagrange
O polinômio de interpolação em Lagrange é
P(x) ;=;sumi=0^3 yi,Li(x), Li(x);=;prodjneq ix - xjxi - xj
Cada é 1 em e 0 em todos os outros nós. Vamos calcular para .

Passo 4

Cálculo das bases
Denotando
x₀=4.913, x₁=5.832, x₂=6.859, x₃=8,
temos:
  1. .

Passo 5

Avaliar o polinômio
Agora é só montar
P(7) = sumi=0^3 yi,Li(7) =1.7cdot0.02985 + 1.8cdot(-0.1431) + 1.9cdot1.068 + 2.0cdot0.0450 approx1.9112

Resposta

(estimativa por interpolação cúbica)

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