Deseja-se encontrar raiz a real positiva mais próxima do eixo y, da função f(x)=f1(x)-f2(x), onde f1(x)=2 cos (x) e f2(x)=a e^b x^2. Para isso faça:
Usando o método dos mínimos quadrados, ache o ajustamento de f2 para o tabelamento abaixo. Use 3 casas decimais nos seus cálculos. (1,50pt)
cccccc $x$ & 0.1 & 0.5 & 1 & 1.2 & 1.6 $f2(x)$ & 0.529 & 0.662 & 0.876 & 0.982 & 1.23 0.1 0.5 1 1.2 1.6
0.529 0.662 0.876 0.982 1.23

Passo 1

Beleza, o que temos aqui é um ajuste de curva pelo método dos mínimos quadrados. A função que queremos ajustar aos dados é
f2(x)=a,e^b x^2,
e a tabela de pontos é
x: 0.1, 0.5, 1.0, 1.2, 1.6
f2(x): 0.529, 0.662, 0.876, 0.982, 1.230.
Conteúdo: ajuste exponencial via mínimos quadrados. Para resolver, a gente vai linearizar o modelo (tomar log), montar a regressão linear ln y = A + B,X com X=x^2, calcular as somas (∑X, ∑Y, ∑XY, ∑X²) e achar A e B. No final traduzimos de volta para a=e^A e b=B.

Passo 2

Linearização do modelo
  1. Definimos
Yi = lnl(f2(xi)r), Xi = xi^2
2) O modelo vira
Y = A + B,X, A = ln a,;B = b
  1. Usamos as fórmulas da regressão linear por mínimos quadrados:
$$B = \frac{n\sum X_iY_i - (\sum X_i)(\sum Y_i)}{n\sum X_i^2 - (\sum X_i)^2},\qquad
A = \frac{\sum Y_i - B,\sum X_i}{n}.$$

Passo 3

Computando as somas (com 3 casas decimais):
x_i: 0.1, 0.5, 1.0, 1.2, 1.6
X_i= xi^2: 0.010, 0.250, 1.000, 1.440, 2.560
Y_i= ln(f2(xi)):
ln(0.529)=-0.636,
ln(0.662)=-0.414,
ln(0.876)=-0.133,
ln(0.982)=-0.018,
ln(1.230)=+0.207.
Agora:
∑X = 5.260
∑Y = -0.994
∑X Y = (0.010)(-0.636)+(0.250)(-0.414)+…+(2.560)(0.207)= 0.261
∑X² = (0.010)²+(0.250)²+…+(2.560)² = 9.690
n = 5

Passo 4

Aplicando as fórmulas:
B = 5cdot0.261 - (5.260)(-0.994)5cdot9.690 - (5.260)^2 = 1.305 + 5.22848.450 - 27.668 = 6.53320.782 approx 0.314,
A = -0.994 - 0.314cdot5.2605 = -0.994 -1.6525 = -0.529
Logo
a = e^A = e^-0.529approx0.589, b = Bapprox0.314

Resposta

O ajuste pelo método dos mínimos quadrados dá
boxedaapprox0.589, bapprox0.314

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