Utilize o método de eliminação sem e com pivoteamento parcial para resolver o seguinte sistema:
l x1+2 x2+3 x3=6 2 x1+3 x2+4 x3=10 3 x1+4 x2+5 x3=14

Passo 1

Beleza, vamos resolver o sistema
x1+2x2+3x3=6, 2x1+3x2+4x3=10, 3x1+4x2+5x3=14
usando o Método de Eliminação de Gauss (conteúdos: operações elementares em linhas, matriz aumentada, substituição regressiva) de duas maneiras:
  1. sem pivoteamento parcial;
  2. com pivoteamento parcial (ou seja, trocando linhas para ter pivôs grandes e evitar dividir por zero ou números pequenos).

Passo 2

Eliminação sem pivoteamento parcial
  1. Monta a matriz aumentada
[ccc|c 1&2&3&6 2&3&4&10 3&4&5&14 ]
  1. Elimina R2=[2-2cdot1,;3-2cdot2,;4-2cdot3mid10-2cdot6] =[0,,-1,,-2mid-2] de R2 e R3:
  • Multiplicador R3=[3-3,;4-6,;5-9mid14-18] =[0,,-2,,-4mid-4] , faz R2←R2–2·R1:
[ccc|c 1&2&3&6 0&-1&-2&-2 0&-2&-4&-4 ]
  • Multiplicador R3=[0,;-2-2(-1),;-4-2(-2)mid -4-2(-2)] =[0,0,0mid0] , faz R3←R3–3·R1:
x1+2(2-2t)+3t=6 ;Rightarrow;x1+4-4t+3t=6 ;Rightarrow;x1=2+t
Agora a matriz é
  1. Elimina de R3:
  • Multiplicador , faz R3←R3–2·R2:
Então a última linha virou , que indica que o sistema é dependente (tem infinitas soluções).
  1. Substituição “para trás” (parametrização):
  • Da linha 2: .
  • Da linha 1: . Substituindo :
  • Chama (t é parâmetro livre).

Passo 3

Eliminação com pivoteamento parcial
  1. Na coluna 1 o maior pivô em módulo é [ccc|c 3&4&5&14 2&3&4&10 1&2&3&6 ] (R3), então trocamos R1↔R3:
[ccc|c 3&4&5&14 0&tfrac23&tfrac43&tfrac43 0&tfrac13&tfrac23&tfrac23 ]
  1. Elimina 3x1+4(2-2t)+5t=14 ;Rightarrow;3x1=6+3t ;Rightarrow;x1=2+t em R2 e R3:
  • , R2←R2– R1 ⇒ R2 fica .
  • , R3←R3– R1 ⇒ R3 fica .
  1. Agora, na coluna 2, compara com : o maior é em R3, então trocamos R2↔R3:
  1. Elimina em R3:
  • , R3←R3– R2 ⇒ R3 vira . De novo linha nula.
  1. Substituição regressiva (igual ao caso sem pivô):
  • R2: ⇒ multiplicando por 3: .
  • R1: ⇒ substitui :

Resposta

Em ambos os métodos o sistema fica com uma linha nula e admite infinitas soluções.
Usando boxedx1=2+t, x2=2-2t, x3=t, tinR , a solução geral é

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