Utilize o método de eliminação sem e com pivoteamento parcial para resolver o seguinte sistema:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o sistema
usando o Método de Eliminação de Gauss (conteúdos: operações elementares em linhas, matriz aumentada, substituição regressiva) de duas maneiras:
- sem pivoteamento parcial;
- com pivoteamento parcial (ou seja, trocando linhas para ter pivôs grandes e evitar dividir por zero ou números pequenos).
Passo 2
Eliminação sem pivoteamento parcial
- Monta a matriz aumentada
- Elimina
de R2 e R3:R2=[2-2cdot1,;3-2cdot2,;4-2cdot3mid10-2cdot6] =[0,,-1,,-2mid-2]
- Multiplicador
, faz R2←R2–2·R1:R3=[3-3,;4-6,;5-9mid14-18] =[0,,-2,,-4mid-4]
- Multiplicador
, faz R3←R3–3·R1:R3=[0,;-2-2(-1),;-4-2(-2)mid -4-2(-2)] =[0,0,0mid0]
Agora a matriz é
- Elimina
de R3:
- Multiplicador
, faz R3←R3–2·R2:
Então a última linha virou
, que indica que o sistema é dependente (tem infinitas soluções).
- Substituição “para trás” (parametrização):
- Da linha 2:
⇒ ⇒ . - Da linha 1:
. Substituindo : - Chama
(t é parâmetro livre).
Passo 3
Eliminação com pivoteamento parcial
- Na coluna 1 o maior pivô em módulo é
(R3), então trocamos R1↔R3:[ccc|c 3&4&5&14 2&3&4&10 1&2&3&6 ]
- Elimina
em R2 e R3:3x1+4(2-2t)+5t=14 ;Rightarrow;3x1=6+3t ;Rightarrow;x1=2+t
-
, R2←R2– R1 ⇒ R2 fica . -
, R3←R3– R1 ⇒ R3 fica .
- Agora, na coluna 2, compara
com : o maior é em R3, então trocamos R2↔R3:
- Elimina
em R3:
-
, R3←R3– R2 ⇒ R3 vira . De novo linha nula.
- Substituição regressiva (igual ao caso sem pivô):
- R2:
⇒ multiplicando por 3: ⇒ . - R1:
⇒ substitui :
Resposta
Em ambos os métodos o sistema fica com uma linha nula e admite infinitas soluções.
Usando boxedx1=2+t, x2=2-2t, x3=t, tinR , a solução geral é
Usando