Deseja-se encontrar raiz a real positiva mais próxima do eixo y, da função
, onde
e
. Para isso faça:
Verifique a existência de uma raiz uma única de
em I.
Verifique a existência de uma raiz uma única de
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente mostrar que, no intervalo I = [0,\tfrac{π}{2}], a função
tem exatamente UMA raiz positiva.
Conteúdo que vamos usar:
1) Teorema do Valor Intermediário (TVI), que diz que se f é contínua em [A,B] e f(A)·f(B)<0, então existe ao menos uma raiz em (A,B).
2) Critério de unicidade via derivada: se f′(x) não muda de sinal em (A,B), então f é estritamente monotônica e só pode cruzar o eixo x uma vez.
Pressupomos aqui que a>0 e b≥0, assim f fica certinho e a mudança de sinal em f(0) e f(π/2) rola numa boa.
Passo 2
Aplicando o TVI em I = [0,\tfrac{π}{2}]:
Calcule f(0) e f(π/2):
Calcule f(0) e f(π/2):
Como a>0, temos f(0)=2−a >0 (se a<2) e f(π/2)<0. Logo f(0)·f(π/2)<0 e, pelo TVI, existe PELO MENOS uma raiz em (0,π/2).
Passo 3
Agora garantimos que seja só UMA raiz, mostrando que f é estritamente decrescente em [0,π/2].
- Derivada de f:
$$f’(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2\cos x - a,e^{b x^2}\bigr)
=-2\sin x ;-;a,e^{b x^2}\cdot(2b,x),. $$
2) Em x∈(0,π/2], temos sin x>0, x>0, e e^{b x^2}>0. Assim
- o termo −2 sin x é sempre negativo,
- o termo −a e^{b x^2}·(2b x) também é ≤0 (pois a>0, b≥0 e x≥0).
Logo f′(x)<0 para todo x∈(0,π/2], o que faz f decrescente e, por consequência, só pode ter UM único ponto onde cruza o zero.
2) Em x∈(0,π/2], temos sin x>0, x>0, e e^{b x^2}>0. Assim
- o termo −2 sin x é sempre negativo,
- o termo −a e^{b x^2}·(2b x) também é ≤0 (pois a>0, b≥0 e x≥0).
Logo f′(x)<0 para todo x∈(0,π/2], o que faz f decrescente e, por consequência, só pode ter UM único ponto onde cruza o zero.
Resposta
A função f(x)=2 cos x − a e^{b x²} tem exatamente uma raiz em I=[0,π/2].