Desenvolva uma busca de aproximação com uma margem de erro 0,06.
DADOS: f(x)=x^3+4 x^2-10=0
Tem uma raiz entre [1,2], visto que: f(1)=-5 f(2)=14

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma aproximação da raiz da função com uma margem de erro de 0,06. A gente sabe que a raiz está entre 1 e 2 porque e . Vamos usar o método da bissecção, que é uma técnica bem legal para achar raízes quando sabemos que a função muda de sinal no intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método da bissecção. Esse método funciona dividindo o intervalo onde a raiz está localizada pela metade repetidamente, verificando em qual subintervalo a função muda de sinal. Isso nos aproxima cada vez mais da raiz verdadeira.

Passo 3

Vamos começar com o intervalo [1, 2]. Calculamos o ponto médio desse intervalo:
c = 1 + 22 = 1,5
Agora, avaliamos a função em f(1,5) = (1,5)^3 + 4(1,5)^2 - 10 = 3,375 + 9 - 10 = 2,375 :
Como e , a raiz está entre 1 e 1,5 porque a função muda de sinal.

Passo 4

Agora, vamos usar o intervalo [1, 1,5]. Calculamos o novo ponto médio:
c = 1 + 1,52 = 1,25
Avaliando a função em f(1,25) = (1,25)^3 + 4(1,25)^2 - 10 = 1,953125 + 6,25 - 10 = -1,796875 :
Como e , a raiz está entre 1,25 e 1,5.

Passo 5

Vamos repetir o processo com o intervalo [1,25, 1,5]. Calculamos o ponto médio:
c = 1,25 + 1,52 = 1,375
Avaliando a função em f(1,375) = (1,375)^3 + 4(1,375)^2 - 10 approx 2,59961 + 7,578125 - 10 = 0,177734 :
Como e , a raiz está entre 1,25 e 1,375.

Passo 6

Agora, com o intervalo [1,25, 1,375], calculamos o ponto médio:
c = 1,25 + 1,3752 = 1,3125
Avaliando a função em f(1,3125) = (1,3125)^3 + 4(1,3125)^2 - 10 approx 2,25708 + 6,890625 - 10 = -0,852344 :
Como e , a raiz está entre 1,3125 e 1,375.

Passo 7

Continuando com o intervalo [1,3125, 1,375], calculamos o ponto médio:
c = 1,3125 + 1,3752 = 1,34375
Avaliando a função em f(1,34375) = (1,34375)^3 + 4(1,34375)^2 - 10 approx 2,4336 + 7,2256 - 10 = -0,3400 :
Como e , a raiz está entre 1,34375 e 1,375.

Passo 8

Vamos mais uma vez com o intervalo [1,34375, 1,375]. Calculamos o ponto médio:
c = 1,34375 + 1,3752 = 1,359375
Avaliando a função em f(1,359375) = (1,359375)^3 + 4(1,359375)^2 - 10 approx 2,5076 + 7,3994 - 10 = -0,093 :
Como e , a raiz está entre 1,359375 e 1,375.

Resposta

Após várias iterações utilizando o método da bissecção, a aproximação da raiz da função com uma margem de erro de 0,06 é aproximadamente .

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