DESENVOLVA f(X)=3 X^3-5 X^2+X-2 EM UMA SERIE DE TAYLOR EM TORNO DE X0=1, E EM TORNO DE X0=3. E SIMPLIFIQUE, COMPARE COM O RESULTADO DO PROBLEMA 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a expansão de Taylor da função
f(X)=3X^3-5X^2+X-2
em torno de f(X)=sumn=0^inftyf^(n)(X0)n!(X-X0)^n e .
Conteúdo: Série de Taylor de uma função polinomial.
O que precisamos:
1. Saber que a série de Taylor de em torno de é

2. Calcular , , , (até ordem 3, já que o polinômio é de grau 3).

Passo 2

Cálculo das derivadas gerais:
  1. f(X)&=f(1)+f'(1)(X-1)+f''(1)2!(X-1)^2+f'''(1)3!(X-1)^3 &=-3 ;+;0cdot(X-1);+;82(X-1)^2;+;186(X-1)^3 &=-3 ;+;4,(X-1)^2;+;3,(X-1)^3
Agora vamos avaliar em :
  • .
  • .
  • .
  • .
Série de Taylor em torno de :

Passo 3

Agora em f(X)&=f(3)+f'(3)(X-3)+f''(3)2!(X-3)^2+f'''(3)3!(X-3)^3 &=37 ;+;52,(X-3);+;442(X-3)^2;+;186(X-3)^3 &=37 ;+;52,(X-3);+;22,(X-3)^2;+;3,(X-3)^3 :
  • .
  • .
  • .
  • .
Série de Taylor em torno de :

Resposta

Série de Taylor de boxedf(X)=-3+4,(X-1)^2+3,(X-1)^3 em torno de boxedf(X)=37+52,(X-3)+22,(X-3)^2+3,(X-3)^3 :
Em torno de :
Comparando com o resultado do problema 2, você vê que trocar o ponto de expansão é só “deslocar” a forma, mas os coeficientes derivados daquelas derivadas continuam certinhos.

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