O deslocamento de uma estrutura é definido pela seguinte equação para uma oscilação amortecida: y=8 e^-k t cos (omega t), onde k=0,5, omega=3 e t é dado em segundos. Determine o tempo necessário para o deslocamento diminua para 4 , utilizando: Caso o método da Bisseção fosse utilizado, em quantas iterações o método obteria uma solução com o erro inferior a 10^-2, sabendo que a solução está no intervalo [0,2 ; 0,4]

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que o deslocamento de uma estrutura oscila e se amortece segundo
y(t)=8e^-ktcos(omega t),, k=0,5,;omega=3
Queremos achar o tempo tal que . Em vez de resolver analiticamente, vamos usar o método da Bisseção para achar esse no intervalo . O que precisamos:
1. Definir uma função .
2. Saber que a Bisseção garante um erro máximo .
3. Usar a fórmula do número de iterações para ter erro menor que .

Passo 2

Definindo a função:
f(t)=8e^-0,5tcos(3t)-4
O zero de é exatamente o tempo que faz . Já sabemos que esse zero está entre e .

Passo 3

Teoria do método da Bisseção:
  • A cada iteração, o intervalo onde o zero está é cortado pela metade.
  • Depois de b-a2^n iterações, o tamanho do intervalo é
b-a2^n
Para garantirmos erro menor que , basta ter

Passo 4

Aqui, 0,22^n<10^-2 Longrightarrow 2^n> 0,210^-2=20 e n>log2(20)approx ln20ln2approx4,32 . Logo queremos
Aplicando logaritmo base 2:
Como tem de ser inteiro, pegamos o próximo inteiro maior, isto é .

Resposta

Seriam necessárias 5 iterações do método da Bisseção para garantir erro inferior a .

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