O deslocamento de uma estrutura é definido pela seguinte equação para uma oscilação amortecida: y=8 e^-k t cos (omega t), onde k=0,5, omega=3 e t é dado em segundos. Determine o tempo necessário para o deslocamento diminua para 4 , utilizando: o método de Newton, aproximação inicial t0=0,3 e erro relativo inferior a 10^-2.

Passo 1

Então, a questão diz que o deslocamento de uma estrutura é dado por
y = 8,e^-k tcos(omega t)
com tn+1=tn-f(tn)f'(tn) , e a gente quer achar o tempo em que esse deslocamento cai para 4.
Isso é um problema de encontrar raiz de função (ou seja, resolver ), usando o método de Newton com chute inicial e parar quando o erro relativo for menor que .
Conteúdo:
  • Definir para a raiz
  • Calcular a derivada
  • Aplicar iterações de Newton:
  • Usar critério de erro relativo

Passo 2

Definimos
f(t)=8,e^-0.5tcos(3t)-4
Para o Newton precisamos de ddtl(e^-0.5tcos(3t)r) =e^-0.5tcdotddtcos(3t) +cos(3t)cdotddte^-0.5t . Vamos derivar passo a passo:
  1. A parte ddtl(e^-0.5tcos(3t)r) =e^-0.5tl(-3sin(3t)r)+cos(3t)l(-0.5,e^-0.5tr) =e^-0.5tl(-0.5cos(3t)-3sin(3t)r) é um produto, então f'(t)=8,e^-0.5tl(-0.5cos(3t)-3sin(3t)r)
  2. Sabemos que tn+1=tn-8,e^-0.5tncos(3tn)-48,e^-0.5tn(-0.5cos(3tn)-3sin(3tn)) e .
  3. Então
Multiplicando por 8 e lembrando do “ ” que some na derivada,
O método de Newton fica

Passo 3

Primeira iteração ( f(0,3)=8,e^-0.5cdot0.3cos(3cdot0.3)-4 approx8cdot0.8607cdot0.6216-4approx0.2784 , f'(0.3)approx8cdot0.8607l(-0.5cdot0.6216-3cdot0.7833r) approx-18.32 ):
  1. Calcular t1 = 0.3 - 0.2784-18.32approx0.3152 : |t1-t0||t1|=0.01520.3152approx0.0482,
  2. Calcular :
  3. Atualizar
  4. Erro relativo aproximado que ainda é maior que .

Passo 4

Segunda iteração ( f(0.3152)=8,e^-0.5cdot0.3152cos(3cdot0.3152)-4 approx-0.0020 , f'(0.3152)approx8,e^-0.1576l(-0.5cos0.9456-3sin0.9456r) approx-18.65 ):
1)
t2 = 0.3152 - -0.0020-18.65approx0.31509
  1. |t2-t1||t2| =0.000110.31509approx0.00035<10^-2
  2. Erro relativo
Como agora o erro relativo é menor que , a gente para.

Resposta

O tempo necessário é aproximadamente segundos.

Exercícios relacionados