O deslocamento de uma estrutura é definido pela seguinte equação para uma oscilação amortecida:
, onde
e t é dado em segundos. Determine o tempo necessário para o deslocamento diminua para 4 , utilizando: o método de Newton, aproximação inicial
e erro relativo inferior a
.
Passo 1
Então, a questão diz que o deslocamento de uma estrutura é dado por
com
,
e a gente quer achar o tempo
em que esse deslocamento cai para 4.
Isso é um problema de encontrar raiz de função (ou seja, resolver ), usando o método de Newton com chute inicial
e parar quando o erro relativo for menor que
.
Conteúdo:
Isso é um problema de encontrar raiz de função (ou seja, resolver
Conteúdo:
- Definir
para a raiz - Calcular a derivada
- Aplicar iterações de Newton:
- Usar critério de erro relativo
Passo 2
Definimos
Para o Newton precisamos de
. Vamos derivar passo a passo:
- A parte
é um produto, então - Sabemos que
e . - Então
Multiplicando por 8 e lembrando do “
” que some na derivada,
O método de Newton fica
Passo 3
Primeira iteração (
,
):
- Calcular
: - Calcular
: - Atualizar
- Erro relativo aproximado
que ainda é maior que .
Passo 4
Segunda iteração (
,
):
1)
1)
-
-
- Erro relativo
Como agora o erro relativo é menor que
, a gente para.
Resposta
O tempo necessário é aproximadamente
segundos.