Determine polinômios de mínimos quadrados de grau um, dois e três para os dados (1,0,1,84), (1,1,1,96), (1,3,2,21), (1,5,2,45), (1,9,2,94) e (2,1,3,18). Calcule o erro E para cada caso.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente ajustar um polinômio de grau 1, 2 e 3 aos pontos
(1.0,1.84),;(1.1,1.96),;(1.3,2.21),;(1.5,2.45),;(1.9,2.94),;(2.1,3.18)
usando mínimos quadrados. O conteúdo aqui é regressão linear geral: montamos as equações normais
sum x^k,p(xi)=sum x^k,yi, k=0,dots,m
para encontrar os coeficientes p(x)=a0+a1x+dots+amx^m do polinômio
Para resolver vamos precisar:
  1. Computar somatórios e .
  2. Montar o sistema linear (as “equações normais”).
  3. Resolver esse sistema (por Cramer ou eliminação de Gauss).
  4. Calcular o erro .

Passo 2

Queremos 6,a0 + l(sum xir),a1 = sum yi, l(sum xir),a0 + l(sum xi^2r),a1 = sum xi,yi . As equações normais são
n&=6, sum xi &=1.0+1.1+1.3+1.5+1.9+2.1=8.9, sum yi &=1.84+1.96+2.21+2.45+2.94+3.18=14.58, sum xi^2&=1.0^2+1.1^2+dots+2.1^2=14.17, sum xi,yi&=1cdot1.84+1.1cdot1.96+dots+2.1cdot3.18=22.808
Calculando os somatórios:
6,a0 + 8.9,a1 = 14.58, 8.9,a0 +14.17,a1 =22.808
O sistema fica
a0approx0.4496, a1approx1.2190
Resolvendo (determinante p1(x)=0.4496 + 1.2190,x ) obtemos
E1=sumi=1^6l(yi-p1(xi)r)^2approx0.1781
Logo
O erro é

Passo 3

Agora sum xi^3=24.023, sum xi^4=42.8629, sum xi^2yi=38.0962 . Somatórios extras:
6 & 8.9 &14.17 8.9 &14.17 &24.023 14.17 &24.023 &42.8629 a0a1a2 = 14.5822.80838.0962
As normais viram o sistema 3×3:
[
a0approx0.9856, a1approx0.7083, a2approx0.1667
p2(x)=0.9856 + 0.7083,x + 0.1667,x^2,

E2;=;sumi=1^6l(yi-p2(xi)r)^2approx0.00248 .
]
Resolvendo (eliminando por Gauss, por exemplo) dá
Portanto
e o erro

Passo 4

Para sum xi^5=79.5192,;sum xi^6=151.801,;sum xi^3yi=67.191 precisamos ainda de
6 & 8.9 &14.17 &24.023 8.9 &14.17 &24.023 &42.8629 14.17 &24.023 &42.8629 &79.5192 24.023 &42.8629 &79.5192 &151.801 a0a1a2a3 = 14.5822.80838.096267.191
O sistema 4×4 é
[
a0approx1.3954, a1approx-0.5390, a2approx1.2827, a3approx-0.2984
p3(x)=1.3954 ;-;0.5390,x;+;1.2827,x^2;-;0.2984,x^3,

E3=sumi=1^6l(yi-p3(xi)r)^2approx1.238(aprox) .
]
Fazendo eliminação de Gauss (ou Cramer) encontra-se numericamente
Logo
e o erro

Resposta

p1(x)=0.4496+1.2190x, E1≈0.1781
p2(x)=0.9856+0.7083x+0.1667x², E2≈0.00248
p3(x)=1.3954−0.5390x+1.2827x²−0.2984x³, E3≈1.238

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