Determine polinômios de mínimos quadrados de grau um, dois e três para os dados
,
,
,
,
e
. Calcule o erro
para cada caso.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente ajustar um polinômio de grau 1, 2 e 3 aos pontos
usando mínimos quadrados. O conteúdo aqui é regressão linear geral: montamos as equações normais
para encontrar os coeficientes
do polinômio
Para resolver vamos precisar:
- Computar somatórios
e . - Montar o sistema linear (as “equações normais”).
- Resolver esse sistema (por Cramer ou eliminação de Gauss).
- Calcular o erro
.
Passo 2
Queremos
. As equações normais são
Calculando os somatórios:
O sistema fica
Resolvendo (determinante
) obtemos
Logo
O erro é
Passo 3
Agora
. Somatórios extras:
As normais viram o sistema 3×3:
[
p2(x)=0.9856 + 0.7083,x + 0.1667,x^2,
]
Resolvendo (eliminando por Gauss, por exemplo) dá
Portanto
e o erro
Passo 4
Para
sum xi^5=79.5192,;sum xi^6=151.801,;sum xi^3yi=67.191 precisamos ainda de
6 & 8.9 &14.17 &24.023 8.9 &14.17 &24.023 &42.8629 14.17 &24.023 &42.8629 &79.5192 24.023 &42.8629 &79.5192 &151.801 a0a1a2a3 = 14.5822.80838.096267.191
O sistema 4×4 é
[
a0approx1.3954, a1approx-0.5390, a2approx1.2827, a3approx-0.2984
p3(x)=1.3954 ;-;0.5390,x;+;1.2827,x^2;-;0.2984,x^3,
]
Fazendo eliminação de Gauss (ou Cramer) encontra-se numericamente
Logo
e o erro
Resposta
p1(x)=0.4496+1.2190x, E1≈0.1781
p2(x)=0.9856+0.7083x+0.1667x², E2≈0.00248
p3(x)=1.3954−0.5390x+1.2827x²−0.2984x³, E3≈1.238
p2(x)=0.9856+0.7083x+0.1667x², E2≈0.00248
p3(x)=1.3954−0.5390x+1.2827x²−0.2984x³, E3≈1.238