Em uma determinada fábrica, a cada 30 dias é feito um levantamento do acumulado de peças produzidas com algum defeito. Na tabela abaixo temos a quantidade de peças produzidas nos seis primeiros meses do ano que apresentaram algum defeito. Faça o que se pede nos itens a seguir.
Quantidade
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30 | 60 | 90 | 120 | 150 | 180 |
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Quantidade
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856 | 1578 | 2003 | 3095 | 3918 | 5105 |
De acordo com a tabela, utilizando as quantidades de peças com defeitos em 60, 120 e 180 dias, encontre o polinômio
que interpola esses dados.
Passo 1
Tranquilo, aqui a ideia é montar um polinômio de grau 2 que passe pelos pontos (60, 1578), (120, 3095) e (180, 5105). O assunto é interpolação polinomial (grau 2), e pra resolver a gente vai usar a fórmula de Lagrange, que cria bases
que valem 1 num ponto e 0 nos outros.
Passo 2
A técnica de Lagrange diz que, para três pontos
,
,
, o polinômio interpolador é
onde cada base é
Isso garante que
, ou seja, 1 se
e 0 caso contrário.
Passo 3
Aqui os nós são
,
,
.
As bases ficam:
Passo 4
Agora montamos
Substituindo e somando tudo dá, depois de simplificar frações e agrupar termos,