Em uma determinada fábrica, a cada 30 dias é feito um levantamento do acumulado de peças produzidas com algum defeito. Na tabela abaixo temos a quantidade de peças produzidas nos seis primeiros meses do ano que apresentaram algum defeito. Faça o que se pede nos itens a seguir.
Quantidade x de dias 30 60 90 120 150 180
Quantidade y de peças com defeito 856 1578 2003 3095 3918 5105
De acordo com a tabela, utilizando as quantidades de peças com defeitos em 60, 120 e 180 dias, encontre o polinômio p2 que interpola esses dados.

Passo 1

Tranquilo, aqui a ideia é montar um polinômio de grau 2 que passe pelos pontos (60, 1578), (120, 3095) e (180, 5105). O assunto é interpolação polinomial (grau 2), e pra resolver a gente vai usar a fórmula de Lagrange, que cria bases que valem 1 num ponto e 0 nos outros.

Passo 2

A técnica de Lagrange diz que, para três pontos p2(x);=;sumi=0^2 yi,Li(x), , Li(x);=;prodsubstackj=0jneq i^2x - xjxi - xj , , o polinômio interpolador é
onde cada base é
Isso garante que , ou seja, 1 se e 0 caso contrário.

Passo 3

Aqui os nós são
L0(x)=(x-120)(x-180)(60-120)(60-180) =(x-120)(x-180)(-60)(-120)=(x-120)(x-180)7200, ,
L1(x)=(x-60)(x-180)(120-60)(120-180) =(x-60)(x-180)60cdot(-60)=-(x-60)(x-180)3600, ,
L2(x)=(x-60)(x-120)(180-60)(180-120) =(x-60)(x-120)120cdot60=(x-60)(x-120)7200 .
As bases ficam:

Passo 4

Agora montamos
p2(x) =1578,L0(x)+3095,L1(x)+5105,L2(x)
Substituindo e somando tudo dá, depois de simplificar frações e agrupar termos,
p2(x) =4937200,x^2;+;31124,x;+;554

Resposta

boxed,p2(x)=4937200,x^2 ;+;31124,x;+;554,

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