Um grupo de alunos de engenharia deve projetar um modelo de kart que irá participar de uma competição universitária de corrida. Seguindo as especificações dadas pelas regras da competição, eles projetam um kart e o levam para fazer os testes em um kartódromo. Dentre várias avaliações, eles analisam a velocidade média que o kart atingiu a cada duas voltas ao longo de 8 voltas. Os dados são apresentados na tabela abaixo. Eles irão construir uma função para verificar se o kart construído atingirá a velocidade média pretendida na corrida. Faça o que se pede nos itens a seguir.
Quantidade de voltas x 2 4 6 8
Velocidade média (em m/s) v 17 21 23 23
Sabendo que na décima volta o kart obteve uma velocidade média de 75 km / h, calcule o erro da previsão se utilizarmos o polinômio interpolador.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos as velocidades médias (em m/s) do kart a cada 2 voltas, nos pontos
x = 2,4,6,8 com v = 17,21,23,23. A ideia é montar o polinômio interpolador que passa por esses 4 pontos, usar ele pra prever a velocidade na volta 10 (x = 10) e comparar com o valor real que foi 75 km/h.
Conteúdo: interpolação polinomial (grau ≤ 3, mas aqui acaba sendo grau 2 porque os 4 pontos têm terceira diferença zero), conversão de unidades e cálculo de erro. Vamos precisar de álgebra básica e da ideia de polinômio interpolador.

Passo 2

Primeiro, convertemos o valor real da décima volta de 75 km/h para m/s:
75;km/h =75cdot10003600;m/s =75cdot518;m/s =20,8333;m/s

Passo 3

Agora, vamos achar o polinômio interpolador P(x)=ax^2+bx+c . Como as abscissas são igualmente espaçadas (distância 2) e a terceira diferença dos valores é zero, 4a+2b+c=17, 16a+4b+c=21, 36a+6b+c=23 é um polinômio de grau 2:
4l(-tfrac14r)+2cdottfrac72+c=17 ;Rightarrow;-1+7+c=17 ;Rightarrow;c=11
Usamos três dos pontos, por exemplo P(x)=-tfrac14x^2+tfrac72x+11 , e montar o sistema:
Subtraindo as equações em cadeia:
  • De (2)–(1):
  • De (3)–(2):
    Depois .
    Então .
    Por fim, em :
Logo

Passo 4

Calculamos a previsão em P(10)=-tfrac14cdot100+tfrac72cdot10+11 =-25+35+11 =21;m/s :

Passo 5

O erro de previsão (diferença entre previsto e real) é
l|P(10)-vrealr| =l|21-20,8333r| =0,1667;m/s

Resposta

O erro da previsão é aproximadamente m/s.

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