Em uma determinada fábrica, a cada 30 dias é feito um levantamento do acumulado de peças produzidas com algum defeito. Na tabela abaixo temos a quantidade de peças produzidas nos seis primeiros meses do ano que apresentaram algum defeito. Faça o que se pede nos itens a seguir.
Quantidade x de dias 30 60 90 120 150 180
Quantidade y de peças com defeito 856 1578 2003 3095 3918 5105
De acordo com a tabela, utilizando as quantidades de peças com defeitos em 30, 90 e 150 dias, encontre o polinômio p1 que interpola esses dados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para achar um polinômio de grau até 2 que passe pelos pontos dados nos dias 30, 90 e 150, com quantidades 856, 2003 e 3918 de peças com defeito.
Conteúdo: interpolação polinomial (a gente vai usar a fórmula de Lagrange). O que precisamos: entender a forma dos polinômios de Lagrange e depois simplificar para achar o .

Passo 2

Teoria – polinômio de Lagrange:
Se eu tenho três pontos p(x)=y1;L1(x)+y2;L2(x)+y3;L3(x), , L1(x)=(x-x2)(x-x3)(x1-x2)(x1-x3), L2(x)=(x-x1)(x-x3)(x2-x1)(x2-x3), L3(x)=(x-x1)(x-x2)(x3-x1)(x3-x2) e , o polinômio de grau ≤2 que interpola esses pontos é
onde cada vale
Isso garante que (1 se , 0 caso contrário).

Passo 3

Aplicando ao nosso caso:
(x1,y1)=(30,856), (x2,y2)=(90,2003), (x3,y3)=(150,3918)
Então
L1(x)=(x-90)(x-150)(30-90)(30-150) =(x-90)(x-150)(-60)(-120)=(x-90)(x-150)7200,
L2(x)=(x-30)(x-150)(90-30)(90-150) =(x-30)(x-150)60cdot(-60)=-(x-30)(x-150)3600,
L3(x)=(x-30)(x-90)(150-30)(150-90) =(x-30)(x-90)120cdot60=(x-30)(x-90)7200
Logo,
p1(x)=856,L1(x)+2003,L2(x)+3918,L3(x)

Passo 4

Agora é só multiplicar e juntar tudo. Fazendo as contas (expansão e soma de frações) dá:
p1(x) =875,x^2 ;+;37960,x;+;11412
Você pode conferir rapidinho:
  • .

Resposta

boxedp1(x)=875,x^2 ;+;37960,x;+;11412

Exercícios relacionados