Em uma determinada fábrica, a cada 30 dias é feito um levantamento do acumulado de peças produzidas com algum defeito. Na tabela abaixo temos a quantidade de peças produzidas nos seis primeiros meses do ano que apresentaram algum defeito. Faça o que se pede nos itens a seguir.
Quantidade
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30 | 60 | 90 | 120 | 150 | 180 |
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Quantidade
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856 | 1578 | 2003 | 3095 | 3918 | 5105 |
De acordo com a tabela, utilizando as quantidades de peças com defeitos em 30, 90 e 150 dias, encontre o polinômio
que interpola esses dados.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para achar um polinômio
de grau até 2 que passe pelos pontos dados nos dias 30, 90 e 150, com quantidades 856, 2003 e 3918 de peças com defeito.
Conteúdo: interpolação polinomial (a gente vai usar a fórmula de Lagrange). O que precisamos: entender a forma dos polinômios de Lagrange e depois simplificar para achar o .
Conteúdo: interpolação polinomial (a gente vai usar a fórmula de Lagrange). O que precisamos: entender a forma dos polinômios de Lagrange e depois simplificar para achar o
Passo 2
Teoria – polinômio de Lagrange:
Se eu tenho três pontos ,
e
, o polinômio de grau ≤2 que interpola esses pontos é
Se eu tenho três pontos
onde cada
vale
Isso garante que
(1 se
, 0 caso contrário).
Passo 3
Aplicando ao nosso caso:
Então
Logo,
Passo 4
Agora é só multiplicar e juntar tudo. Fazendo as contas (expansão e soma de frações) dá:
Você pode conferir rapidinho:
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