Em uma determinada turma, a probabilidade de um estudante obter uma nota
entre
e
em um exame padrão é dada por
onde
é a média das notas obtidas no exame e
é o desvio padrão das notas. Determine, com precisão de
, a probabilidade de um estudante dessa turma ter conseguido uma nota dentro de um intervalo simétrico de largura
em torno da nota média, usando a regra
de Simpson generalizada.
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que a nota
segue uma distribuição Normal com média
e desvio padrão
. A probabilidade de cair num intervalo simétrico de largura
em torno da média é
O conteúdo aqui é o uso da regra de Simpson 1/3 composta (generalizada) para aproximar integrais. Vamos precisar:
- Fazer a mudança de variável para simplificar o integrando;
- Escolher um número par de subintervalos
; - Calcular os pontos, valores da função e aplicar a fórmula do Simpson.
Passo 2
Primeiro, simplificamos a integral com a mudança
então os limites
e
viram
e
. A integral fica
Ou seja, nossa função para integrar é
no intervalo
.
Passo 3
Vamos usar a regra de Simpson composta com
subintervalos (é par, beleza).
- Largura total do intervalo:
. -
. - Pontos:
- Valores:
Passo 4
Agora a fórmula composta de Simpson 1/3 é
Substituindo
e os valores:
Fatoramos
e calculamos numericamente:
Então dentro dos colchetes fica
e multiplicando tudo:
Resposta
A probabilidade aproximada pelo método de Simpson 1/3 composta (com
) de o estudante obter nota entre
e
é