Em uma determinada turma, a probabilidade de um estudante obter uma nota N entre a e b em um exame padrão é dada por
P(a <= N <= b)=integrala^b 1sigma raiz2 pi e^-(x-mu)^2sigma sigma^2 d x
onde mu é a média das notas obtidas no exame e sigma é o desvio padrão das notas. Determine, com precisão de 10^-3, a probabilidade de um estudante dessa turma ter conseguido uma nota dentro de um intervalo simétrico de largura 2 sigma em torno da nota média, usando a regra 13 de Simpson generalizada.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que a nota P(mu-sigma <= N <= mu+sigma) =integralmu-sigma^mu+sigma1sigmaraiz2pi e^-(x-mu)^22sigma^2,dx segue uma distribuição Normal com média e desvio padrão . A probabilidade de cair num intervalo simétrico de largura em torno da média é
O conteúdo aqui é o uso da regra de Simpson 1/3 composta (generalizada) para aproximar integrais. Vamos precisar:
  • Fazer a mudança de variável para simplificar o integrando;
  • Escolher um número par de subintervalos ;
  • Calcular os pontos, valores da função e aplicar a fórmula do Simpson.

Passo 2

Primeiro, simplificamos a integral com a mudança
t=x-musigma Longrightarrow dx=sigma,dt,
então os limites integral-1^11raiz2pie^-t^2/2,dt e g(t)=1raiz2pie^-t^2/2, viram e . A integral fica
Ou seja, nossa função para integrar é
no intervalo .

Passo 3

Vamos usar a regra de Simpson composta com subintervalos (é par, beleza).
  • Largura total do intervalo: .
  • .
  • Pontos:
  • Valores:




Passo 4

Agora a fórmula composta de Simpson 1/3 é
integral-1^1g(t),dt approx h3l[g(t0)+4g(t1)+2g(t2)+4g(t3)+g(t4)r]
Substituindo integral-1^1g(t),dt approx 0.53l[ 2,e^-1/2raiz2pi +8,e^-1/8raiz2pi +2,1raiz2pi r] e os valores:
e^-1/2approx0.60653, e^-1/8approx0.88250, 0.53=0.16667
Fatoramos 2cdot0.60653 +8cdot0.88250 +2cdot1 =1.21306+7.06000+2 =10.27306, e calculamos numericamente:
0.53cdot1raiz2picdot10.27306 approx 0.68324
Então dentro dos colchetes fica
e multiplicando tudo:

Resposta

A probabilidade aproximada pelo método de Simpson 1/3 composta (com boxed0,683 (aproximadamente) ) de o estudante obter nota entre e é

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