Suponha que um lobo esteja perseguindo uma lebre. O caminho do lobo em direção à lebre é chamado de curva de perseguição. Suponha que o lobo corra a uma velocidade constante alpha e a lebre com uma velocidade constante beta. Considere que o lobo começa a perseguição no instante t=0 na posição (0,0) de um sistema de coordenadas cartesianas e a lebre, no mesmo instante, está na posição (0,1) no mesmo sistema de coordenadas. O coelho corre em linha reta ao longo da reta x=1, na direção positiva do eixo y. Sendo (x(t), y(t)) a posição do lobo no instante t, a equação diferencial que descreve a curva de perseguição é:
d yd x=12[(1-x)^-beta / alpha-(1-x)^beta / alpha]
Suponha que a velocidade do lobo seja de 35 km / h e a da lebre seja 25 km / h. Usando o método de Range-Kutta de quarta ordem com h=0,1:
encontre a posição em que o lobo alcança a lebre.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz que um lobo persegue uma lebre e a curva de perseguição satisfaz a EDO
dydx ;=;12l[(1-x)^-beta/alpha - (1-x)^beta/alphar]
com velocidades constantes (lobo) e (lebre). No nosso caso  km/h e  km/h, então . Queremos achar a posição em que o lobo alcança a lebre, isto é, quando . Para isso vamos resolver essa EDO com o método de Runge–Kutta de 4ª ordem (RK4) usando passo .

Passo 2

Primeiro, a EDO vira
dydx=f(x) com f(x)=12l[(1-x)^-5/7-(1-x)^5/7r],
e a condição inicial é
y(0)=0
porque o lobo parte de . Nosso objetivo é aproximar .

Passo 3

O esquema RK4 para
k1&=h,f(xn), k2&=h,fl(xn+tfrac h2r), k3&=h,fl(xn+tfrac h2r), k4&=h,f(xn+h), yn+1&=yn+16,(k1+2k2+2k3+k4)
com passo é, de para :
Aqui depende só de , então ao calcular e não precisamos ajustar nos argumentos de .

Passo 4

Vamos iterar de y(1)=integral0^1f(x),dx =tfrac12l[integral0^1(1-x)^-5/7dx-integral0^1(1-x)^5/7dxr] até perto de integral0^1(1-x)^-5/7dx =integral1^0u^-5/7(-du) =integral0^1u^-5/7du =u^1-5/71-5/7|0^1 =12/7=72, em 10 passos de integral0^1(1-x)^5/7dx =u^1+5/71+5/7|0^1 =112/7=712 . Para agilizar, apresento só os valores finais de cada passo:
n y(1) =tfrac12l(tfrac72-tfrac712r) =tfrac12cdot3512 =3524 approx1,4583 (aprox.)
0 0,0 0,0000
1 0,1 0,00370
2 0,2 0,01538
3 0,3 0,03614
4 0,4 0,06750
5 0,5 0,11165
6 0,6 0,17208
7 0,7 0,25487
8 0,8 0,37214
9 0,9 0,55802
10 1,0 (singu­lar)
Perceba que em o termo explode, então o RK4 “quebra” exatamente aí. Mas a integral de a de é finita, então podemos obtê-la analiticamente:
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Resposta

O lobo alcança a lebre na posição aproximadamente
boxed(x,y)=l(1,;tfrac3524r)approx(1,,1,4583)

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