Suponha que um lobo esteja perseguindo uma lebre. O caminho do lobo em direção à lebre é chamado de curva de perseguição. Suponha que o lobo corra a uma velocidade constante
e a lebre com uma velocidade constante
. Considere que o lobo começa a perseguição no instante
na posição
de um sistema de coordenadas cartesianas e a lebre, no mesmo instante, está na posição
no mesmo sistema de coordenadas. O coelho corre em linha reta ao longo da reta
, na direção positiva do eixo
. Sendo
a posição do lobo no instante
, a equação diferencial que descreve a curva de perseguição é:
Suponha que a velocidade do lobo seja de
e a da lebre seja
. Usando o método de Range-Kutta de quarta ordem com
:
encontre a posição em que o lobo alcança a lebre.
encontre a posição em que o lobo alcança a lebre.
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado diz que um lobo persegue uma lebre e a curva de perseguição satisfaz a EDO
com velocidades constantes
(lobo) e
(lebre). No nosso caso
km/h e
km/h, então
. Queremos achar a posição
em que o lobo alcança a lebre, isto é, quando
. Para isso vamos resolver essa EDO com o método de Runge–Kutta de 4ª ordem (RK4) usando passo
.
Passo 2
Primeiro, a EDO vira
e a condição inicial é
porque o lobo parte de
. Nosso objetivo é aproximar
.
Passo 3
O esquema RK4 para
com passo é, de
para
:
com passo
Aqui
depende só de
, então ao calcular
e
não precisamos ajustar
nos argumentos de
.
Passo 4
Vamos iterar de
até perto de
em 10 passos de
. Para agilizar, apresento só os valores finais de cada passo:
n |
|
|
---|---|---|
0 | 0,0 | 0,0000 |
1 | 0,1 | 0,00370 |
2 | 0,2 | 0,01538 |
3 | 0,3 | 0,03614 |
4 | 0,4 | 0,06750 |
5 | 0,5 | 0,11165 |
6 | 0,6 | 0,17208 |
7 | 0,7 | 0,25487 |
8 | 0,8 | 0,37214 |
9 | 0,9 | 0,55802 |
10 | 1,0 | (singular) |
Perceba que em
o termo
explode, então o RK4 “quebra” exatamente aí. Mas a integral de
a
de
é finita, então podemos obtê-la analiticamente:
Com
:
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Resposta
O lobo alcança a lebre na posição aproximadamente