Um determinado foguete entra na atmosfera e os deslocamentos de cada um de suas 3 partes não pode ultrapassar 1,5 cm sob pena do foguete explodir. Dado que esses deslocamentos são calculados pelo sistema linear Ax=b abaixo, pede-se para esse foguete:
Resolva o sistema por Eliminação de Gauss, com pivoteamento parcial.
l 20 x1+7 x2+9 x3=16 7 x1+30 x2+8 x3=38 9 x1+8 x2+30 x3=38

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz o seguinte: temos um foguete cujas 3 partes não podem se deslocar mais que 1,5 cm (senão explode). Esses deslocamentos vêm das incógnitas 20x1 + 7x2 + 9x3 = 16, 7x1 + 30x2 + 8x3 = 38, 9x1 + 8x2 + 30x3 = 38 do sistema
O conteúdo aqui é Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial. Isso significa que, a cada coluna, a gente escolhe como “pivot” o elemento com maior valor absoluto pra evitar divisão por zeros pequenos e melhorar a precisão, faz a eliminação abaixo dele e segue até triangularizar a matriz. Depois, faz back‐substitution.

Passo 2

Primeiro, montamos a matriz aumentada 20 & 7 & 9 & vline & 16 7 & 30 & 8 & vline & 38 9 & 8 & 30 & vline & 38 :
Coluna 1: procuramos o maior valor absoluto entre 20, 7 e 9 – é 20. Como ele já está na linha 1, não trocamos nada.
Agora eliminamos os termos abaixo de 20 usando multiplicadores:
m21 = 720, m31 = 920
Atualizando:
  • Linha2 ← Linha2 − 0, 30 - tfrac720cdot7 = tfrac55120, 8 - tfrac720cdot9 = tfrac9720, 38 - tfrac720cdot16 = 32,4 ,Linha1 0, 8 - tfrac920cdot7 = tfrac9720, 30 - tfrac920cdot9 = tfrac51920, 38 - tfrac920cdot16 = 30,8
  • Linha3 ← Linha3 − 20 & 7 & 9 & vline & 16 0 & tfrac55120 & tfrac9720 & vline & 32.4 0 & tfrac9720 & tfrac51920 & vline & 30.8 ,Linha1
Agora a matriz é

Passo 3

Passamos para a coluna 2. Olhamos os pivôs candidatos m32 = tfrac9720tfrac55120 = 97551approx0.176 e 0, 0, tfrac51920 - tfrac97551cdottfrac9720approx25.0964, 30.8 - tfrac97551cdot32.4approx25.0976 . O maior é 27.55, que já está na linha 2, então não trocamos linhas.
Eliminamos então o termo abaixo dele com
20 & 7 & 9 & vline & 16 0 & 27.55 & 4.85 & vline & 32.4 0 & 0 & 25.0964 & vline & 25.0976
Linha3 ← Linha3 − ,Linha2, gerando
Agora a matriz é triangular:

Passo 4

Hora da back‐substitution:
  1. Da linha 3:
25.0964,x3 = 25.0976 ;Longrightarrow; x3 = 25.097625.0964approx1.00005approx1
  1. Da linha 2:
27.55,x2 + 4.85,(1) = 32.4 ;Longrightarrow; x2 = 32.4 - 4.8527.55 = 27.5527.55 = 1
  1. Da linha 1:
20,x1 + 7,(1) + 9,(1) = 16 ;Longrightarrow; 20,x1 = 16 - 16 = 0 ;Longrightarrow; x1 = 0

Resposta

(x1, x2, x3) = (0,,1,,1)
Isso mostra que nenhum dos deslocamentos ultrapassa 1,5 cm (todos são ≤ 1 cm), ou seja, o foguete está seguro.

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