Um determinado foguete entra na atmosfera e os deslocamentos de cada um de suas 3 partes não pode ultrapassar 1,5 cm sob pena do foguete explodir. Dado que esses deslocamentos são calculados pelo sistema linear Ax=b abaixo, pede-se para esse foguete:
Resolva o sistema por Fatoração LU, usando um pivoteamento parcial.
l 20 x1+7 x2+9 x3=16 7 x1+30 x2+8 x3=38 9 x1+8 x2+30 x3=38

Passo 1

Beleza, vamos resolver o sistema
20x1 + 7x2 + 9x3 = 16 7x1 + 30x2 + 8x3 = 38 9x1 + 8x2 + 30x3 = 38
usando Fatoração LU com pivoteamento parcial.
Conteúdo: Álgebra Linear – decompor em (e, se preciso, permutar linhas via matriz ), depois resolver (substituição para frente) e (substituição para trás). Não vou pular nada, explico cada pedacinho.

Passo 2

Primeiro, monto as matrizes
A = 20 & 7 & 9 7 & 30 & 8 9 & 8 & 30 , b = 163838
No pivoteamento parcial, a gente olha a primeira coluna ell21 = 720=0,35, ell31 = 920=0,45 e escolhe o maior em módulo como pivô. É , que já está na primeira linha, então não trocamos nada ( ).
Agora calculamos os multiplicadores para zerar abaixo desse pivô:

Passo 3

Eliminação na coluna 1:
  • Linha 2 ← Linha 2 – (30 - 0,35cdot7,;8 - 0,35cdot9) =(27,55,;4,85) ,Linha 1
    (8 - 0,45cdot7,;30 - 0,45cdot9) =(4,85,;25,95) novos coeficientes 20 & 7 & 9 0 & 27,55 & 4,85 0 & 4,85 & 25,95
  • Linha 3 ← Linha 3 – ,Linha 1
Fica a matriz intermediária

Passo 4

Agora pivoteamos a segunda coluna: entre ell32 = 4,8527,55approx 0,1761 e 25,95 - 0,1761cdot4,85 approx 25,0964 , o maior é L = 1 & 0 & 0 0,35 & 1 & 0 0,45 & 0,1761 & 1 , U = 20 & 7 & 9 0 & 27,55 & 4,85 0 & 0 & 25,0964 , que está na linha 2, então sem troca.
Multiplicador para zerar o :
Eliminação: Linha 3 ← Linha 3 – ,Linha 2
Agora já temos a forma triangular superior , e os vão para :

Passo 5

Agora resolvemos por substituição pra frente:
  1. .

Passo 6

Por fim por substituição pra trás:

Resposta

x1 = 0, x2 = 1, x3 = 1
Ou seja, cada deslocamento fica em até cm? Nesse caso é exatamente 1 cm, tudo dentro do limite.

Exercícios relacionados