Um determinado foguete entra na atmosfera e os deslocamentos de cada um de suas 3 partes não pode ultrapassar 1,5 cm sob pena do foguete explodir. Dado que esses deslocamentos são calculados pelo sistema linear Ax=b abaixo, pede-se para esse foguete:
Resolva o sistema por Gauss-Jordan e calcule determinante da matriz A. nãd seı fazer!
l 20 x1+7 x2+9 x3=16 7 x1+30 x2+8 x3=38 9 x1+8 x2+30 x3=38

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um sistema linear
20x1 + 7x2 + 9x3 = 16, 7x1 +30x2 + 8x3 = 38, 9x1 + 8x2 +30x3 = 38,
e que não podemos ter deslocamentos (as soluções ) maiores que 1,5 cm, sob pena de explosão.
Conteúdo:
  • Eliminação de Gauss–Jordan para achar .
  • Cálculo de determinante pela forma triangular que a matriz assume durante a eliminação.
    O que vamos precisar: montar a matriz aumentada , usar pivôs para zerar colunas, chegar à forma reduzida e ler as variáveis; e, no caminho, anotar os pivôs para multiplicar e achar .

Passo 2

Montamos a matriz aumentada:
[
\bigl[A|b\bigr]

.
]
  1. Primeiro pivô: l[A|br] = 20 & 7 & 9 & vline & 16 7 &30 & 8 & vline & 38 9 & 8 &30 & vline & 38 . Vamos usar para zerar abaixo.
  • Linha2 20 & 7 & 9 & vline & 16 0 &tfrac55120 & tfrac9720 & vline & tfrac1625 0 &tfrac9720 & tfrac51920& vline & tfrac1545 Linha2 Linha1
  • Linha3 Linha3 Linha1
Isso leva a

Passo 3

  1. Segundo pivô: 1 & 0 & tfrac214551 & vline & tfrac214551 0 & 1 & tfrac97551 & vline & tfrac648551 0 & 0 & tfrac13828551& vline & tfrac13828551 (o termo da linha2, coluna2).
  • Dividimos a linha2 por para fazer pivô = 1.
  • Em seguida, zeramos acima e abaixo desse pivô na coluna 2:
    • Linha1 Linha1 Linha2
    • Linha3 Linha3 Linha2
Depois dessa etapa chegamos a

Passo 4

  1. Terceiro pivô: 1 & 0 & tfrac214551 & vline & tfrac214551 0 & 1 & tfrac97551 & vline & tfrac648551 0 & 0 & 1 & vline & 1 . Dividimos a linha3 por esse valor para obter 1 na coluna 3. Fica:
Agora voltamos substituindo de baixo pra cima:
  • Da linha3: .
  • Linha2 diz
    .
  • Linha1 diz
    .

Passo 5

Cálculo do determinante:
Quando fizemos eliminação sem permutar linhas, os pivôs foram
20, 55120, 13828551
O determinante de det(A) =20;times;55120;times;13828551 =13828 é o produto desses pivôs:

Resposta

(x1,x2,x3)=(0,1,1), det(A)=13828

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