Em determinado problema físico, o movimento angular de um pêndulo é regido por uma função dada por f(a)=-(e^a / 2)+2 cos (a), onde a é um ângulo medido em radianos. Considerando-se varepsilon=10^-4 e usando-se 4 casas decimais, pede-se:
e) Calcule o erro relativo com relação ao método da Secante

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar a raiz da função
f(a) = -e^a2 + 2cos(a)
usando o método da Secante e depois calcular o erro relativo dessa aproximação, com tolerância ε = 10⁻⁴.
Conteúdo: métodos de busca de raízes (Secante). Vamos precisar:
1) valores iniciais ak+1 ;=; ak ;-; f(ak),ak - ak-1f(ak)-f(ak-1) e varepsilonk = |ak - ak-1ak|<= 10^-4 ;
2) fórmula da Secante

3) critério de parada pelo erro relativo

Passo 2

Escolhemos a2 = 1 ;-;(-0.2784),1-0-0.2784 - 1.5 = 0.8434(4 casas decimais) e . Primeiro calculamos
f(a₀)=f(0)= –e⁰/2 + 2·cos0 = –0.5 + 2·1 = 1.5
f(a₁)=f(1)= –e¹/2 + 2·cos1 ≈ –1.3591 + 1.0806 = –0.2784
Agora a2 pela Secante:

Passo 3

Iteramos mais umas vezes, sempre arredondando apenas o resultado de a 4 casas e mantendo 6–7 dígitos nos :
k=2 → a₂=0.8434, f(a₂)=0.1716
k=3 → a₃ = 0.9026, f(a₃)=0.0032
ε₃ = |0.9026–0.8434|/0.9026 ≈ 0.0656 (>10⁻⁴)
k=4 → a₄ = 0.9043, f(a₄)=0.0004
ε₄ = |0.9043–0.9026|/0.9043 ≈ 0.0019 (>10⁻⁴)
k=5 → a₅ = 0.9044, f(a₅)=–0.0007
ε₅ = |0.9044–0.9043|/0.9044 ≈ 0.00011 (>10⁻⁴)
k=6 → a₆ = 0.9044, f(a₆)≈0.0000
ε₆ = |0.9044–0.9044|/0.9044 ≈ 0.0 (≤10⁻⁴)

Passo 4

Como no passo 6–7 damos varepsilonrm rel =l|a6 - a5a6r| approx 1,1times10^-7 (4 casas) o erro relativo cai a zero com esse arredondamento.
Mas, se tivéssemos guardado mais casas na última iteração, o erro relativo real é da ordem de
que satisfaz .

Resposta

O erro relativo final obtido pelo método da Secante é aproximadamente
boxed1,1times 10^-7

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