Em determinado problema físico, o movimento angular de um pêndulo é regido por uma função dada por f(a)=-(e^a / 2)+2 cos (a), onde a é um ângulo medido em radianos. Considerando-se varepsilon=10^-4 e usando-se 4 casas decimais, pede-se:
c) Faca o refinamento para achar a pelo método da Secante com a0=0,5 e a1=1,0.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem um pêndulo cujo movimento angular satisfaz
f(a)=-e^a2+2cos(a),
onde é o ângulo em radianos. A parte © pede pra usar o método da Secante, com e , até que a diferença entre iterações seja menor que .
Conteúdo: método da Secante para achar raízes de uma função. Vamos precisar conhecer a fórmula da Secante e saber calcular , exponencial e cosseno, e controlar o erro .

Passo 2

A ideia do método da Secante é aproximar a raiz de an+1 = an ;-; f(an),an - an-1f(an)-f(an-1) por segmentos de reta entre e . A fórmula é
A cada passo calculamos e paramos quando for menor que .

Passo 3

Primeiro encontramos
f(a0)=f(0,5)=-tfrace^0.52+2cos(0.5)approx 0,9308, f(a1)=f(1,0)=-tfrace^12+2cos(1)approx -0,2785
Agora
a2 =1,0;-;(-0,2785),1,0-0,5-0,2785-0,9308 approx 0,8848
Erro: .

Passo 4

Calculamos
f(a2)=f(0,8848)approx 0,0581,
e então
a3 =0,8848 - 0,0581,0,8848-1,00,0581 - (-0,2785) approx 0,9046
Erro: .

Passo 5

Agora
f(a3)=f(0,9046)approx 0,0013,
e
a4 =0,9046 - 0,0013,0,9046-0,88480,0013-0,0581 approx 0,9051
Erro: .

Passo 6

Mais uma iteração:
f(a4)=f(0,9051)approx -0,0000445,
a5 =0,9051 -(-0,0000445),0,9051-0,9046-0,0000445-0,0013 approx 0,9051
Erro: . Convergiu!

Resposta

A raiz aproximada do movimento angular pelo método da Secante, com 4 casas decimais, é
boxedaapprox0,9051 rad

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