Seja a equação f(x)=x-x ln (x)=0 que rege o funcionamento de uma turbina em um sistema de injeção hidráulica em um foguete espacial, onde a raiz determina o ponto de ebulição do fluído dessa turbina, que deve ser controlado para evitar explosão do foguete. Considerando-se varepsilon=10^-5 e 6 casas decimais, pede-se:
b) Ache uma raiz de f(x) através do Método do Ponto-Fixo.

Passo 1

Resumo do problema: a gente precisa achar uma raiz da função
f(x)=x - xln(x)=0
usando o Método do Ponto-Fixo.
Conteúdo: fixed-point iteration (isolar x=g(x) e iterar).
O que vamos precisar:
- Escolher uma função g(x) tal que x=g(x) tenha a mesma raiz de f(x)=0;
- Garantir que g seja contrátil perto da raiz;
- Iterar xn+1=g(xn) até |xn+1-xn|;
- Usar varepsilon=10^-5 e dar 6 casas decimais no resultado.

Passo 2

Transformação em ponto-fixo: uma técnica padrão é montar
g(x)=x - alpha,f(x),, f(x)=x - xln(x),,
e escolher alpha de modo que |g'(x)|<1 em torno da raiz.
Se a gente põe alpha=-1, vem
g(x)=x -(-1)l(x - xln xr)=x + x - xln x = x,(2 - ln x),
Verificação rápida do critério de contração em x=e:
g'(x)= (2 - ln x) + xl(-tfrac1xr)=1 - ln xLongrightarrow g'(e)=1-1=0,,
ou seja, contrai fortemente, beleza!

Passo 3

Definimos então a iteração
xn+1=g(xn)=xn,(2 - ln xn),,
com critério de parada
|xn+1-xn|
Escolhemos um chute inicial razoável, por exemplo x0=3 (próximo de eapprox2,71828).

Passo 4

Vamos iterar até atingir a tolerância:
n xn ln(xn) 2-ln(xn) xn+1 $ x_{n+1}-x_n $
0 3.000000 1.098612 0.901388 2.704164
1 2.704164 0.995269 1.004731 2.717911 0.013747
2 2.717911 0.999866 1.000134 2.718281 0.000370
3 2.718281 1.000000 1.000000 2.718282 0.0000005
Na iteração 3 já temos $ x_4-x_3 <10^{-5}$.

Resposta

A raiz aproximada pela iteração de ponto-fixo é
xapprox2,718282,

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