Seja a equação
que rege o funcionamento de uma turbina em um sistema de injeção hidráulica em um foguete espacial, onde a raiz determina o ponto de ebulição do fluído dessa turbina, que deve ser controlado para evitar explosão do foguete. Considerando-se
e 6 casas decimais, pede-se:
b) Ache uma raiz de
através do Método do Ponto-Fixo.
b) Ache uma raiz de
Passo 1
Resumo do problema: a gente precisa achar uma raiz da função
usando o Método do Ponto-Fixo.
Conteúdo: fixed-point iteration (isolar
O que vamos precisar:
- Escolher uma função
- Garantir que
- Iterar
- Usar
Passo 2
Transformação em ponto-fixo: uma técnica padrão é montar
e escolher
Se a gente põe
Verificação rápida do critério de contração em
:
ou seja, contrai fortemente, beleza!
Passo 3
Definimos então a iteração
com critério de parada
Escolhemos um chute inicial razoável, por exemplo
(próximo de
).
Passo 4
Vamos iterar até atingir a tolerância:
n |
|
|
|
|
$ | x_{n+1}-x_n | $ |
---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 3.000000 | 1.098612 | 0.901388 | 2.704164 | — | ||
1 | 2.704164 | 0.995269 | 1.004731 | 2.717911 | 0.013747 | ||
2 | 2.717911 | 0.999866 | 1.000134 | 2.718281 | 0.000370 | ||
3 | 2.718281 | 1.000000 | 1.000000 | 2.718282 | 0.0000005 | ||
Na iteração 3 já temos $ | x_4-x_3 | <10^{-5}$. |
Resposta
A raiz aproximada pela iteração de ponto-fixo é