Em determinado problema físico, o movimento angular de um pêndulo é regido por uma função dada por f(a)=-(e^a / 2)+2 cos (a), onde a é um ângulo medido em radianos. Considerando-se varepsilon=10^-4 e usando-se 4 casas decimais, pede-se:
a) Ache um intervalo para uma solução de f(a)=0 através de um isolamento analitico.

Passo 1

Beleza, nosso problema é achar um intervalo onde a função
f(a) = -e^a2 + 2cos(a)
se anula (ou seja, ). Isso é conteúdo de análise de função (teorema do valor intermediário ou de Bolzano): se uma função contínua muda de sinal num intervalo, tem raiz ali dentro. Vamos precisar de cálculo de exponencial, cosseno e checar sinal de em vários pontos.

Passo 2

Primeiro, checamos nos extremos:
  • Em f(0) = -e^02 + 2cos(0) = -tfrac12 + 2cdot1 = 1.5 > 0 , f(1) = -e^12 + 2cos(1) approx -2.71832 + 2cdot0.5403 approx -1.3591 + 1.0806 = -0.2785 < 0
  • Em ,
Como e , por Bolzano existe pelo menos uma raiz em .

Passo 3

Agora vamos refinar via bisseção, mantendo 4 casas decimais:
  1. Meio de f(0.5000) = -tfrace^0.52 + 2cos(0.5) approx -0.8244 + 1.7552 = 0.9308 > 0 é f(0.7500)approx -1.0586 + 1.4634 = 0.4048 >0 ;Longrightarrow; raiz em (0.7500,1) : f(0.8750)approx -1.1994 + 1.2801 = 0.0807 >0 ;Longrightarrow; raiz em (0.8750,1) Então a raiz está em f(0.9375)approx -1.2768 + 1.1820 = -0.0948 <0 ;Longrightarrow; raiz em (0.8750,0.9375) .
  2. Meio de f(0.9063)approx -1.2382 + 1.2314 = -0.0068 <0 ;Longrightarrow; raiz em (0.8750,0.9063) é f(0.8906)approx -1.2171 + 1.2586 = 0.0415 >0 ;Longrightarrow; raiz em (0.8906,0.9063) :
  3. Meio de é :
  4. Meio de é :
  5. Meio de é :
  6. Meio de é :

Resposta

Um intervalo que isola analiticamente a raiz, com 4 casas decimais, é
boxed,ain(0.8906,;0.9063),

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