Seja a equação f(x)=x-x ln (x)=0 que rege o funcionamento de uma turbina em um sistema de injeção hidráulica em um foguete espacial, onde a raiz determina o ponto de ebulição do fluído dessa turbina, que deve ser controlado para evitar explosão do foguete. Considerando-se varepsilon=10^-5 e 6 casas decimais, pede-se:
d) Ache o erro relativo com relação ao Método do Ponto Fixo.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos a equação
f(x)=x - xln(x)=0
que, num foguete, dá o ponto de ebulição do fluido. A gente já aplicou o Método do Ponto Fixo pra achar uma aproximação da raiz usando precisão ε=10⁻⁵ e acertou em 6 casas decimais. Agora, na parte (d), o que pedem é o erro relativo dessa aproximação em relação à raiz “verdadeira”.
Matéria envolvida: Método do Ponto Fixo (converge pra uma solução de ) e definição de erro relativo. O que precisamos:
  • O valor “verdadeiro” da raiz .
  • A aproximação que obtemos ( ) com o ponto fixo.
  • A fórmula do erro relativo.

Passo 2

Teoria do erro relativo:
Quando você já sabe a raiz exata ER = l|x^* - xrm apr|l|x^*r| e tem uma aproximação , o erro relativo é dado por
Isso mostra o “tamanho” do erro em porcentagem (se multiplicar por 100%) da ordem de grandeza da raiz.

Passo 3

A raiz verdadeira desta equação a gente consegue reconhecer analiticamente:
x - xln(x)=0 ;Longrightarrow; xl(1-ln(x)r)=0 ;Longrightarrow; ln(x)=1 ;Longrightarrow; x^*=eapprox 2,718281828459045ldots

Passo 4

Pelo que rolou na parte © com o Ponto Fixo, você chegou em 6 casas decimais de precisão, ou seja
xrm ap = 2,718282
(Nosso critério de parada ε=10⁻⁵ e arredondamento em 6 casas decimais.)

Passo 5

Agora é só colocar na fórmula do erro relativo:
ER = l|e - 2,718282r|;e; = l|2,718281828459045ldots - 2,718282r|2,718281828459045ldots
Calculando o numerador:
|e - 2,718282|approx |2,718281828459045 - 2,718282| approx 1,7154105times 10^-7
Então
ERapprox 1,7154times10^-72,7182818approx 6,31times10^-8

Resposta

O erro relativo do Método do Ponto Fixo, com aproximação boxed6,31times10^-8 e raiz exata , é aproximadamente

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