Seja a equação que rege o funcionamento de uma turbina em um sistema de injeção hidráulica em um foguete espacial, onde a raiz determina o ponto de ebulição do fluído dessa turbina, que deve ser controlado para evitar explosão do foguete. Considerando-se e 6 casas decimais, pede-se:
d) Ache o erro relativo com relação ao Método do Ponto Fixo.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos a equação
que, num foguete, dá o ponto de ebulição do fluido. A gente já aplicou o Método do Ponto Fixo pra achar uma aproximação da raiz usando precisão ε=10⁻⁵ e acertou em 6 casas decimais. Agora, na parte (d), o que pedem é o erro relativo dessa aproximação em relação à raiz “verdadeira”.
Matéria envolvida: Método do Ponto Fixo (converge pra uma solução de ) e definição de erro relativo. O que precisamos:
O valor “verdadeiro” da raiz .
A aproximação que obtemos () com o ponto fixo.
A fórmula do erro relativo.
Passo 2
Teoria do erro relativo:
Quando você já sabe a raiz exata e tem uma aproximação , o erro relativo é dado por
Isso mostra o “tamanho” do erro em porcentagem (se multiplicar por 100%) da ordem de grandeza da raiz.
Passo 3
A raiz verdadeira desta equação a gente consegue reconhecer analiticamente:
x - xln(x)=0 ;Longrightarrow; xl(1-ln(x)r)=0 ;Longrightarrow; ln(x)=1 ;Longrightarrow; x^*=eapprox 2,718281828459045ldots