Em um determinado tipo de jogo na remota região da Sibéria na Rússia, três jogadores lançam uma bola cada na direção de uma linha marcada no chão. Ganha o jogo quem ficar mais perto dessa linha, ou seja, quem acertar a bola encima da linha. A solução do sistema abaixo dá a distância, em metros, de quanto uma bola passou ou ficou distante da linha marcada. Portanto, a distância d1 é relativa ao jogador 1 , a d2 ao jogador 2 e ad3 ao jogador 3. Dito isso e usando-se três casas decimais, precisão varepsilon=5 times 10^-1 e x^(0)=000^T, pede-se:
Verifique se o critério de Sassenfeld é satisfeito e, se não, corrija esse sistema para ser.
c 10 d1+2 d2+2 d3=28 d1+10 d2+2 d3=7 2 d1-7 d2-10 d3=-17

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um sistema 3×3 que descreve as distâncias betai = 1|aii|gl(sumj=1^i-1|aij|betaj ;+;sumj=i+1^n|aij|gr) dos jogadores até a linha, e pede para verificar o critério de Sassenfeld (que garante a convergência do método de Gauss–Seidel) e, se não passar, permutar as linhas pra que ele passe.
Conteúdo: métodos iterativos (Gauss–Seidel) e critério de Sassenfeld para convergência.
O que vamos precisar:
  • A fórmula do critério de Sassenfeld:
    Para cada linha ,
  • Calcular e checar se .

Passo 2

  1. Primeiro, escrevemos a matriz dos coeficientes A= 10 & 2 & 2 1 &10 & 2 2 &-7 &-10 , d=d1d2d3 e o vetor de incógnitas beta1 =|a12|+|a13||a11| =2+210 =0,4 l(<1r) : beta2 =|a21|beta1 ;+;|a23||a22| =1cdot0,4 + 210 =2,410 =0,24 l(<1r)
  2. Aplicando a definição de Sassenfeld, sempre trabalhando com valores absolutos:
    • Para beta3 =|a31|beta1 ;+;|a32|beta2|a33| =2cdot0,4 + 7cdot0,2410 =0,8 + 1,6810 =0,248 l(<1r) :
    • Para :
    • Para :
  3. Teoria diz: se todos , o critério de Sassenfeld está satisfeito e o Gauss–Seidel converge sem precisar trocar linhas.

Resposta

O sistema original já satisfaz o critério de Sassenfeld ( , , todas menores que 1). Logo, não é preciso corrigir nem permutar nada.

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