Em um determinado tipo de jogo na remota região da Sibéria na Rússia, três jogadores lançam uma bola cada na direção de uma linha marcada no chão. Ganha o jogo quem ficar mais perto dessa linha, ou seja, quem acertar a bola encima da linha. A solução do sistema abaixo dá a distância, em metros, de quanto uma bola passou ou ficou distante da linha marcada. Portanto, a distância d1 é relativa ao jogador 1 , a d2 ao jogador 2 e ad3 ao jogador 3. Dito isso e usando-se três casas decimais, precisão varepsilon=5 times 10^-1 e x^(0)=000^T, pede-se:
Diga que jogador ganhou o jogo usando o método de Gauss-Jacobi, para esse problema.
c 10 d1+2 d2+2 d3=28 d1+10 d2+2 d3=7 2 d1-7 d2-10 d3=-17

Passo 1

Beleza, vamos jogar com esse sistema aqui:
10,d1+2,d2+2,d3=28 d1+10,d2+2,d3=7 2,d1-7,d2-10,d3=-17
Conteúdo: Método iterativo de Gauss–Jacobi para sistemas lineares.
O que precisamos:
  1. Isolar cada variável na sua própria equação.
  2. Escolher chute inicial .
  3. Iterar até que .
  4. Três casas decimais de precisão.

Passo 2

Isolando d1^(k+1) &= 28 - 2,d2^(k) - 2,d3^(k)10, d2^(k+1) &= 7 - d1^(k) - 2,d3^(k)10, d3^(k+1) &= -17 - 2,d1^(k) + 7,d2^(k)-10 = 17 + 2,d1^(k) - 7,d2^(k)10 cada um em função dos outros (essa é a regra da Jacobi):
Aqui a ideia é usar só os valores da iteração anterior (índice ) para calcular a próxima.

Passo 3

Primeira iteração d1^(1) &= 28 - 2cdot0 - 2cdot010 = 2.8, d2^(1) &= 7 - 0 - 2cdot010 = 0.7, d3^(1) &= 17 + 2cdot0 - 7cdot010 = 1.7 , com :

Passo 4

Segunda iteração d1^(2) &= 28 - 2cdot0.7 - 2cdot1.710 = 28 -1.4 -3.410 = 2.32, d2^(2) &= 7 - 2.8 - 2cdot1.710 = 7 -2.8 -3.410 = 0.08, d3^(2) &= 17 + 2cdot2.8 - 7cdot0.710 = 17 +5.6 -4.910 = 1.77 :
Diferenças
O maior é , então continua.

Passo 5

Terceira iteração d1^(3) &= 28 -2cdot0.08 -2cdot1.7710 = 28 -0.16 -3.5410 = 2.43, d2^(3) &= 7 -2.32 -2cdot1.7710 = 7 -2.32 -3.5410 = 0.114, d3^(3) &= 17 +2cdot2.32 -7cdot0.0810 = 17 +4.64 -0.5610 = 2.108 :
Diferenças agora:
.
O maior , então paramos aqui.

Resposta

Aproximações finais (3 casas decimais):
d1 approx 2.430, d2 approx 0.114, d3 approx 2.108
Como quem chegar mais perto da linha é quem tem menor distância, o VENCEDOR é o jogador 2.

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