Em um determinado tipo de jogo na remota região da Sibéria na Rússia, três jogadores lançam uma bola cada na direção de uma linha marcada no chão. Ganha o jogo quem ficar mais perto dessa linha, ou seja, quem acertar a bola encima da linha. A solução do sistema abaixo dá a distância, em metros, de quanto uma bola passou ou ficou distante da linha marcada. Portanto, a distância d1 é relativa ao jogador 1 , a d2 ao jogador 2 e ad3 ao jogador 3. Dito isso e usando-se três casas decimais, precisão varepsilon=5 times 10^-1 e x^(0)=000^T, pede-se:
Diga que jogador ganhou o jogo usando o método de Gauss-Seidel, alternativamente.
c 10 d1+2 d2+2 d3=28 d1+10 d2+2 d3=7 2 d1-7 d2-10 d3=-17

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente descobrir quem ficou mais perto da linha (ou seja, quem tem menor di) resolvendo o sistema
10d1 + 2d2 + 2d3 = 28, d1 + 10d2 + 2d3 = 7, 2d1 -7d2 -10d3 = -17
usando o método iterativo de Gauss–Seidel, com precisão varepsilon = 5times10^-1=0,5, 3 casas decimais e chute inicial d^(0) = (0,0,0)^T.
Conteúdo: método de Gauss–Seidel (iterativo para sistemas lineares), cuidado com convergência e critério de parada. Vamos precisar das fórmulas de atualização de cada variável e comparar a diferença entre iterações.

Passo 2

Primeiro, escrevemos as fórmulas de Gauss–Seidel, isolando cada di em cada equação:
d1^(k+1) = 28 - 2,d2^(k) - 2,d3^(k)10, d2^(k+1) = 7 - d1^(k+1) - 2,d3^(k)10, d3^(k+1) = -17 - 2,d1^(k+1) +7,d2^(k+1)-10
Teoria rápida: no Gauss–Seidel, assim que calculamos d1^(k+1), já usamos esse valor para achar d2^(k+1), e assim por diante. Isso costuma acelerar a convergência.

Passo 3

Iteração 1, partindo de d^(0)=(0,0,0):
d1^(1) &= 28 - 2cdot0 -2cdot010 = 2,8, d2^(1) &= 7 - 2,8 -2cdot010 = 0,42, d3^(1) &= -17 -2cdot2,8 +7cdot0,42-10 = -17 -5,6 +2,94-10 = 1,966

Passo 4

Iteração 2, usando já os valores de iteração 1:
d1^(2) &= 28 - 2cdot0,42 -2cdot1,96610 = 28 -0,84 -3,93210 = 2,323, d2^(2) &= 7 - 2,323 -2cdot1,96610 = 7 -2,323 -3,93210 = 0,0745, d3^(2) &= -17 -2cdot2,323 +7cdot0,0745-10 = -17 -4,646 +0,5215-10 = 2,11245
Agora verificamos o critério de parada:
|d1^(2) - d1^(1)| = |2,323 - 2,8| = 0,477 < 0,5, |d2^(2) - d2^(1)| = |0,0745 - 0,42| = 0,3455 < 0,5, |d3^(2) - d3^(1)| = |2,11245 - 1,966| = 0,14645 < 0,5
Como todas as variações ficaram abaixo de varepsilon=0,5, paramos aqui. Arredondando pra 3 casas:
d1 approx 2,323, d2 approx 0,075, d3 approx 2,112

Resposta

As distâncias são
d1 = 2,323, d2 = 0,075, d3 = 2,112
Quem ganhou (menor distância) foi o jogador 2.

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