Uma expedição brasileira foi na região amazônica e mediu o calor específico da água em função da temperatura, conforme mostra a tabela abaixo. Baseando-se na tabela, pede-se:
Calcular a temperatura para um calor específico de 0,99837 usando para isso um polinômio de 2^circ grau e 5 casas decimais e também cada um dos métodos listados abaixo:
a. Solução por Lagrange.
b. Solução por Newton.
Temperatura ( ^circ C) Calor específico
20 0,99807
30 0,99826
45 0,99849
55 0,99919

Passo 1

Beleza, vamos lá. A questão nos dá uma tabelinha com o calor específico da água em quatro temperaturas e pede para achar a temperatura tal que o calor específico valha . O que a gente vai usar aqui é interpolação polinomial de grau 2 (ou seja, um polinômio quadrático) e duas formas de montá-lo:
  • Lagrange (cada termo com a sua “fraçãozinha” que zera nos outros pontos),
  • Newton (com diferenças divididas).
Depois de montar o polinômio em cada método, a gente vai igualar e resolver a equação (é só uma quadrática) para encontrar .

Passo 2

Vamos usar os três pontos cujos valores de calor estão mais próximos de (x0,y0)=(20,,0,99807), (x1,y1)=(30,,0,99826), (x2,y2)=(45,,0,99849) :
P2(x)=sumi=0^2 yi,Li(x),
A forma geral é
L0(x)=(x-30)(x-45)(20-30)(20-45), L1(x)=(x-20)(x-45)(30-20)(30-45), L2(x)=(x-20)(x-30)(45-20)(45-30)
onde
– A ideia do Lagrange é que , ou seja, vale 1 se e 0 nos outros pontos.
– Montando e somando os três, a gente obtém um polinômio quadrático .

Passo 3

  1. Subtrai a,T^2 + b,T + c = 0, para ficar na forma T = -b pm raizb^2 - 4ac2a .
  2. Expande tudo; você vai ter algo como Trm Lagran>=;approx;36,64000^circ C com valores bem pequenos em (próximo de zero, pois os três pontos quase formam uma reta).
  3. Aplica Bhaskara:
  4. Entre as duas raízes, você escolhe a que cai entre 20 e 45 (a outra sai fora do intervalo).
Fazendo tudo certinho (com atenção a cinco casas decimais), dá

Passo 4

Aqui a ideia é criar uma tabela de diferenças divididas:
b1 = 0,99826-0,9980730-20 = 1,9times10^-5, b2 = 0,99849-0,9982645-30 - b145-20 approx -1,4668times10^-7 P2(x) = 0,99807 + b1,(x-20) + b2,(x-20)(x-30) 1ª dif. dividida 2ª dif. dividida
20 0,99807
30 0,99826
45 0,99849
Em números dá
O polinômio em “forma de Newton” fica

Passo 5

É o mesmo esquema:
  1. Faz Trm Newton;approx;36,64000^circ C .
  2. Expande até chegar a uma quadrática igual à do passo anterior (porque a gente escolheu os mesmos pontos!).
  3. Usa Bhaskara e pega a raiz entre 20 e 45.
O resultado bate certinho com Lagrange, dando

Resposta

Usando um polinômio de grau 2 com três pontos vizinhos, o calor específico corresponde a
  • Solução por Lagrange:
  • Solução por Newton:

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