Uma expedição brasileira foi na região amazônica e mediu o calor específico da água em função da temperatura, conforme mostra a tabela abaixo. Baseando-se na tabela, pede-se:
Calcular a temperatura para um calor específico de 0,99837 usando para isso um polinômio de
grau e 5 casas decimais e também cada um dos métodos listados abaixo:
a. Solução por Lagrange.
b. Solução por Newton.
Calcular a temperatura para um calor específico de 0,99837 usando para isso um polinômio de
a. Solução por Lagrange.
b. Solução por Newton.
Temperatura
|
Calor específico |
---|---|
20 | 0,99807 |
30 | 0,99826 |
45 | 0,99849 |
55 | 0,99919 |
Passo 1
Beleza, vamos lá. A questão nos dá uma tabelinha com o calor específico da água em quatro temperaturas e pede para achar a temperatura
tal que o calor específico valha
. O que a gente vai usar aqui é interpolação polinomial de grau 2 (ou seja, um polinômio quadrático) e duas formas de montá-lo:
- Lagrange (cada termo com a sua “fraçãozinha” que zera nos outros pontos),
- Newton (com diferenças divididas).
Depois de montar o polinômio em cada método, a gente vai igualar
e resolver a equação (é só uma quadrática) para encontrar
.
Passo 2
Vamos usar os três pontos cujos valores de calor estão mais próximos de
:
A forma geral é
onde
– A ideia do Lagrange é que
, ou seja,
vale 1 se
e 0 nos outros pontos.
– Montando e somando os três, a gente obtém um polinômio quadrático .
– Montando e somando os três, a gente obtém um polinômio quadrático
Passo 3
- Subtrai
para ficar na forma . - Expande tudo; você vai ter algo como
com valores bem pequenos em (próximo de zero, pois os três pontos quase formam uma reta). - Aplica Bhaskara:
- Entre as duas raízes, você escolhe a que cai entre 20 e 45 (a outra sai fora do intervalo).
Fazendo tudo certinho (com atenção a cinco casas decimais), dá
Passo 4
Aqui a ideia é criar uma tabela de diferenças divididas:
|
|
1ª dif. dividida | 2ª dif. dividida |
---|---|---|---|
20 | 0,99807 |
|
|
30 | 0,99826 |
|
|
45 | 0,99849 |
Em números dá
O polinômio em “forma de Newton” fica
Passo 5
É o mesmo esquema:
- Faz
. - Expande até chegar a uma quadrática igual à do passo anterior (porque a gente escolheu os mesmos pontos!).
- Usa Bhaskara e pega a raiz entre 20 e 45.
O resultado bate certinho com Lagrange, dando
Resposta
Usando um polinômio de grau 2 com três pontos vizinhos, o calor específico
corresponde a
- Solução por Lagrange:
- Solução por Newton: