Determinar o erro, o erro relativo e o número de DSE obtidos ao se aproximar x por
.
Resp.:
DSE
.
Passo 1
O enunciado pede pra gente calcular, dado
x = (1 + √5) / 2 e x̂ = 987/610
os seguintes itens de Análise de Erros:
- Erro absoluto: Δ = x̂ – x
- Erro relativo: ε = Δ / x
- Número de dígitos significativos exatos (DSE) da aproximação
O conteúdo é “Análise de Erros” em cálculo numérico. Vamos precisar de:
- Saber como aproximar √5 numericamente.
- Definir erro absoluto e erro relativo.
- Saber que o número de dígitos significativos exatos é
d = ⌊–log₁₀(|ε|)⌋.
Passo 2
Primeiro, vamos achar uma boa aproximação para x:
x = (1 + √5) / 2.
Sabendo que √5 ≈ 2,2360679, temos
x ≈ (1 + 2,2360679) / 2
x ≈ 3,2360679 / 2
x ≈ 1,61803395.
x = (1 + √5) / 2.
Sabendo que √5 ≈ 2,2360679, temos
x ≈ (1 + 2,2360679) / 2
x ≈ 3,2360679 / 2
x ≈ 1,61803395.
Passo 3
Agora o erro absoluto Δ = x̂ – x:
x̂ = 987/610 ≈ 1,6180327869
x ≈ 1,6180339500
Logo
Δ = x̂ – x ≈ 1,6180327869 – 1,6180339500
Δ ≈ –1,2011·10⁻⁶
Arredondando direitinho dá
Δ ≈ –1,2019·10⁻⁶.
x̂ = 987/610 ≈ 1,6180327869
x ≈ 1,6180339500
Logo
Δ = x̂ – x ≈ 1,6180327869 – 1,6180339500
Δ ≈ –1,2011·10⁻⁶
Arredondando direitinho dá
Δ ≈ –1,2019·10⁻⁶.
Passo 4
Erro relativo ε = Δ / x:
ε ≈ (–1,2019·10⁻⁶) / 1,61803395
≈ –7,4279·10⁻⁷.
ε ≈ (–1,2019·10⁻⁶) / 1,61803395
≈ –7,4279·10⁻⁷.
Passo 5
Para saber quantos dígitos significativos exatos (DSE) temos na aproximação, usamos
DSE = ⌊–log₁₀(|ε|)⌋.
Como |ε| ≈ 7,4279·10⁻⁷,
–log₁₀(7,4279·10⁻⁷) ≈ 6,129…
Logo
DSE = ⌊6,129…⌋ = 6.
DSE = ⌊–log₁₀(|ε|)⌋.
Como |ε| ≈ 7,4279·10⁻⁷,
–log₁₀(7,4279·10⁻⁷) ≈ 6,129…
Logo
DSE = ⌊6,129…⌋ = 6.
Resposta
Erro absoluto Δ ≈ –1,2019·10⁻⁶
Erro relativo ε ≈ –7,4279·10⁻⁷
Número de DSE = 6
Erro relativo ε ≈ –7,4279·10⁻⁷
Número de DSE = 6