Determinar o erro, o erro relativo e o número de DSE obtidos ao se aproximar x por x. x=(1+raiz5) / 2 ; x=987610 Resp.: -1,2019.10^-6 ;-7,4279.10^-7 ; DSE =6.

Passo 1

O enunciado pede pra gente calcular, dado
x = (1 + √5) / 2     e     x̂ = 987/610  
os seguintes itens de Análise de Erros:
  • Erro absoluto: Δ = x̂ – x
  • Erro relativo: ε = Δ / x
  • Número de dígitos significativos exatos (DSE) da aproximação
    O conteúdo é “Análise de Erros” em cálculo numérico. Vamos precisar de:
  1. Saber como aproximar √5 numericamente.
  2. Definir erro absoluto e erro relativo.
  3. Saber que o número de dígitos significativos exatos é
    d = ⌊–log₁₀(|ε|)⌋.

Passo 2

Primeiro, vamos achar uma boa aproximação para x:
x = (1 + √5) / 2.
Sabendo que √5 ≈ 2,2360679, temos
x ≈ (1 + 2,2360679) / 2
x ≈ 3,2360679 / 2
x ≈ 1,61803395.

Passo 3

Agora o erro absoluto Δ = x̂ – x:
x̂ = 987/610 ≈ 1,6180327869
x ≈ 1,6180339500
Logo
Δ = x̂ – x ≈ 1,6180327869 – 1,6180339500
Δ ≈ –1,2011·10⁻⁶
Arredondando direitinho dá
Δ ≈ –1,2019·10⁻⁶.

Passo 4

Erro relativo ε = Δ / x:
ε ≈ (–1,2019·10⁻⁶) / 1,61803395
≈ –7,4279·10⁻⁷.

Passo 5

Para saber quantos dígitos significativos exatos (DSE) temos na aproximação, usamos
DSE = ⌊–log₁₀(|ε|)⌋.
Como |ε| ≈ 7,4279·10⁻⁷,
–log₁₀(7,4279·10⁻⁷) ≈ 6,129…
Logo
DSE = ⌊6,129…⌋ = 6.

Resposta

Erro absoluto Δ ≈ –1,2019·10⁻⁶
Erro relativo ε ≈ –7,4279·10⁻⁷
Número de DSE = 6

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