Prof. Tiago Vieira
Discente: Lavras - MG, 14/11/2024.
Instruções
  • Escolha um par de equações para formar seu sistema não linear de acordo com a numeração de cada equação abaixo:
0 & Rightarrow x-y-12=0 1 & Rightarrow 2 x cos (x^2)+y=0 2 & Rightarrow y x^2-xy+1=0 3 & Rightarrow x y+y^2-1=0 4 & Rightarrow cos (x) sen(y)-x+1=0 5 & Rightarrow tan (x)y-4=0 6 & Rightarrow e^x-x+y-3=0 7 & Rightarrow ln (y)+x^2=0 8 & Rightarrow 2 ln (cos (x y)+1)-2 y=0 9 & Rightarrow x+y-1x+y+x^2-1=0
  • O sistema deve ser formado por duas dessas equações, cada uma identificada por seu número, de modo que a primeira equação tenha identificador menor. Por exemplo, o sistema formado pelas duas últimas equações (89) é, nesta ordem:
c 2 ln (cos (x y)+1)-2 y=0 x+y-1x+y+x^2-1=0
  • Durante cada passso dos cálculos, mantenha pelo menos cinco algarismos fracionários.

Questões

  1. [20 pontos] Considerando o sistema escolhido (no Campus Virtual), monte um sistema de equações iterativas através do método do ponto fixo e tente encontrar a primeira solução na qual a variável x tem valor positivo. Use uma condição inicial razoável na qual x e y sejam múltiplos (positivos ou negativos) de 1 / 4, porém evite a condição inicial (0,0). Preencha a tabela abaixo com os dados das iterações e comente sobre a convergência para a solução desejada.
t xt yt Erro abs
0
1
2
3
4
5

Passo 1

O enunciado pede que a gente escolha duas equações numeradas no sistema e use o método do ponto-fixo pra achar a solução com x = varphi1(x,y), y = varphi2(x,y) . Esse método consiste em reescrever cada equação na forma
e iterar a partir de um chute inicial até convergir. Aqui a matéria é “método do ponto-fixo em sistemas” e a gente vai precisar:
  • isolar cada variável em cada uma das duas equações,
  • definir e ,
  • escolher um chute inicial razoável (múltiplos de , sem ser ),
  • iterar mantendo pelo menos cinco casas decimais.

Passo 2

Escolhi as equações de identificadores 3 e 4:
(3);x,y + y^2 -1 = 0, (4);cos(x),sin(y)-x+1 = 0
  1. Da eq. (4) isolo cos(x)sin(y)-x+1=0 Longrightarrow x = cos(x),sin(y) + 1 equiv varphi1(x,y) : x,y + y^2 =1 Longrightarrow y^2 + x,y -1=0 ;Longrightarrow; y = -x pm raizx^2+42
  2. Da eq. (3) isolo y = -x + raizx^2 + 42 equiv varphi2(x,y) : xt+1 = varphi1l(xt,ytr) = cos(xt),sin(yt) + 1, yt+1 = varphi2l(xt,ytr) = -,xt + raizxt^2+42 Como a gente quer , escolhemos o sinal “ ”:
Então nosso esquema de iteração é

Passo 3

Escolhi o chute inicial , ambos múltiplos de . Abaixo a tabela até , com o erro absoluto :
Erro
0 0.25000 0.25000
1 1.23972 0.88278 0.98972
2 1.24964 0.55710 0.32568
3 1.16738 0.55476 0.08226
4 1.20429 0.57465 0.03691
5 1.19460 0.56495 0.00970

Passo 4

A gente vê o erro diminuindo a cada iteração a partir de , o que indica que o ponto-fixo é atrativo e a sequência converge para uma solução com .

Resposta

A primeira solução encontrada (com boxedx approx 1.19460, y approx 0.56495 ) é aproximadamente

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