Determinar o polinômio interpolador de Lagrange para a função conhecida pelos tabela abaixo:
i xi yi
0 -1 4
1 0 1
2 2 1
3 3 16
Resposta: P3(x)=x^3-4 x+1

Passo 1

Beleza, o que a questão manda é encontrar o polinômio de grau 3 que passa pelos pontos
usando o método de interpolação de Lagrange.
Conteúdo: interpolação polinomial – fórmula de Lagrange.
O que vamos precisar:
  • A fórmula geral
  • Calcular cada polinômio básico
  • Somar e simplificar

Passo 2

A fórmula de Lagrange diz que
P3(x);=;sumi=0^3 yi,li(x), li(x);=;prodsubstack0<= j<=3jne i x - xjxi - xj
Cada é feito pra valer 1 em e 0 nos outros , garantindo .

Passo 3

Vamos montar os l0(x) =x-0-1-0,x-2-1-2,x-3-1-3 =x-1,x-2-3,x-3-4 =x(x-2)(x-3)-12 . Os pontos são l1(x) =x+10+1,x-20-2,x-30-3 =x+11,x-2-2,x-3-3 =(x+1)(x-2)(x-3)6 .
  1. l2(x) =x+12+1,x-02-0,x-32-3 =x+13,x2,x-3-1 =-(x+1)x(x-3)6 :
l3(x) =x+13+1,x-03-0,x-23-2 =x+14,x3,x-21 =x(x+1)(x-2)12
  1. :
  1. :
  1. :

Passo 4

Agora montamos
P3(x) =;y0,l0(x)+y1,l1(x)+y2,l2(x)+y3,l3(x)
Substituindo P3(x)&=4cdotx(x-2)(x-3)-12 +1cdot(x+1)(x-2)(x-3)6 +1cdotl(-(x+1)x(x-3)6r) +16cdotx(x+1)(x-2)12 :

Passo 5

É só expandir e juntar termos. Se você fizer a álgebra direitinho, dá:
P3(x)=x^3-4x+1

Resposta

boxedP3(x)=x^3-4x+1

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