Obter f(40) usando um polinômio interpolador de Newton de grau 3 (4 pontos). Considere a seguinte tabela:
Xi 30 35 45 50 55
F(xi) 0.5 0.574 0.707 0.766 0.819
X Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3
:— :—: :—: :—: :—: :—:
x0 30 0.5 0.0148 -0.0001 -0.0000002
X1 35 0.574 0.0133 -0.000105
X2 45 0.707 0.0112
X3 55 0.819

Passo 1

Beleza, a questão pede para a gente achar f(40) usando o polinômio interpolador de Newton de grau 3 (ou seja, com 4 pontos). Isso é Interpolação Polinomial – mais especificamente Newton.
O que a gente vai precisar:
  1. Os 4 pontos .
  2. As diferenças divididas até ordem 3.
  3. A fórmula do polinômio de Newton e, por fim, avaliar em .

Passo 2

Primeiro, anota os pontos e calcula (ou usa) as diferenças divididas:
Dados:
f[x0,x1]=f1-f0x1-x0 =0.574-0.50035-30=0.0148
f[x1,x2]=0.707-0.57445-35=0.0133, f[x2,x3]=0.819-0.70755-45=0.0112
f[x0,x1,x2] =0.0133-0.014845-30=-0.0001, f[x1,x2,x3] =0.0112-0.013355-35=-0.000105
f[x0,x1,x2,x3] =-0.000105 - (-0.0001)55-30 =-0.0000002
Diferenças divididas de 1ª ordem:
2ª ordem:
3ª ordem:

Passo 3

Agora monta o polinômio de Newton de grau 3:
P3(x)= f0 +f[x0,x1],(x-30) +f[x0,x1,x2],(x-30)(x-35) +f[x0,x1,x2,x3],(x-30)(x-35)(x-45)
Substituindo os valores:
P3(x)= 0.5 +0.0148,(x-30) -0.0001,(x-30)(x-35) -0.0000002,(x-30)(x-35)(x-45)

Passo 4

Basta avaliar em 0.5 + 0.148 - 0.005 + 0.00005 = 0.64305 :
Termo a termo:
Somando tudo:

Resposta

.

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