Determine, aproximadamente, o vetor solução do sistema de equação linear a seguir, com tolerância de 10^-2, isto é, faça iterações até que:
max 1 <= i <= n|xi^(k+1)-xi^(k)|<10^-2
Caso isso não ocorra até a terceira iteração, pare. Use 3 casas decimais e arredondamento padrão. Parta do vetor nulo e use o método iterativo de Gauss-Seidel, depois de obter uma condição suficiente de convergência para o método.
c 7 x1-10 x2+2 x3=0 3 x1+2 x2-6 x3=10 5 x1+2 x2-x3=7

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é aproximar a solução do sistema
7x1 - 10x2 +2x3 = 0, 3x1 + 2x2 -6x3 = 10, 5x1 + 2x2 - x3 = 7
usando o método iterativo de Gauss–Seidel. A gente precisa conhecer:
  • O critério de convergência (suficiente) – aqui a dominância diagonal.
  • Como montar as fórmulas de iteração de Gauss–Seidel.
  • Parar quando
maxi=1,2,3l|xi^(k+1)-xi^(k)r|<10^-2
ou, se isso não rolar até a 3ª iteração, a gente para mesmo assim. Vamos usar 3 casas decimais (arredondamento padrão) e começar do vetor nulo.

Passo 2

Teoria rápida de convergência:
Um critério suficiente para Gauss–Seidel convergir é que a matriz dos coeficientes seja estritamente diagonal dominante por linhas, ou seja, em cada linha o módulo do elemento da diagonal deve ser maior que a soma dos módulos dos outros elementos daquela linha.
Testando linha a linha:
  • Linha 1: versus . 7 < 12 → falha.
  • Linha 2: versus . 2 < 9 → falha.
  • Linha 3: versus . 1 < 7 → falha.
Ou seja, não satisfaz o critério de dominância diagonal, então não há garantia teórica de convergência. Mesmo assim, a regra do exercício manda iterar até 3 vezes ou até atingir a tolerância.

Passo 3

Vamos isolar cada para montar as fórmulas de Gauss–Seidel. Para isso, em cada equação colocamos num lado e o resto no outro:
  1. .
  2. .
  3. .
No Gauss–Seidel, na iteração usamos já os valores atualizados que já calculamos nessa mesma volta.

Passo 4

Iteração 1 ( x1^(1) &= 10cdot 0 - 2cdot 07 = 0.000, x2^(1) &= 10 - 3cdot 0 + 6cdot 02 = 5.000, x3^(1) &= 5cdot 0 + 2cdot 5 -7 = 3.000 ), partindo de :
Diferenças:
. Máximo = 5 ≥ 0.01 → não parámos.

Passo 5

Iteração 2 ( x1^(2) &= 10cdot 5.000 - 2cdot 3.0007 = 50 - 67 = 6.2857approx 6.286, x2^(2) &= 10 - 3cdot 6.286 + 6cdot 3.0002 = 10 -18.857 +182 = 4.5715approx 4.572, x3^(2) &= 5cdot 6.286 + 2cdot 4.572 -7 =31.430 +9.144 -7 =33.574approx 33.574 ), com :
Diferenças:
. Máximo = 30.574 ≥ 0.01 → continua.

Passo 6

Iteração 3 ( x1^(3) &= 10cdot 4.572 - 2cdot 33.5747 = 45.72 -67.1487 = -3.0611approx -3.061, x2^(3) &= 10 - 3cdot(-3.061) + 6cdot 33.5742 = 10 +9.183 +201.4442 =110.3135approx 110.314, x3^(3) &= 5cdot(-3.061) + 2cdot110.314 -7 = -15.305 +220.628 -7 =198.323approx 198.323 ), com :
Diferenças:
. Máximo = 164.749 ≥ 0.01.
Não atingimos a tolerância e já fizemos 3 iterações, então paramos.

Resposta

O vetor aproximado obtido na 3ª iteração é
boxed(x1,x2,x3)approx(-3.061,;110.314,;198.323)

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