Determine, aproximadamente, o vetor solução do sistema de equação linear a seguir, com tolerância de , isto é, faça iterações até que:
Caso isso não ocorra até a terceira iteração, pare. Use 3 casas decimais e arredondamento padrão. Parta do vetor nulo e use o método iterativo de Gauss-Seidel, depois de obter uma condição suficiente de convergência para o método.
usando o método iterativo de Gauss–Seidel. A gente precisa conhecer:
O critério de convergência (suficiente) – aqui a dominância diagonal.
Como montar as fórmulas de iteração de Gauss–Seidel.
Parar quando
maxi=1,2,3l|xi^(k+1)-xi^(k)r|<10^-2
ou, se isso não rolar até a 3ª iteração, a gente para mesmo assim. Vamos usar 3 casas decimais (arredondamento padrão) e começar do vetor nulo.
Passo 2
Teoria rápida de convergência:
Um critério suficiente para Gauss–Seidel convergir é que a matriz dos coeficientes seja estritamente diagonal dominante por linhas, ou seja, em cada linha o módulo do elemento da diagonal deve ser maior que a soma dos módulos dos outros elementos daquela linha.
Testando linha a linha:
Linha 1: versus . 7 < 12 → falha.
Linha 2: versus . 2 < 9 → falha.
Linha 3: versus . 1 < 7 → falha.
Ou seja, não satisfaz o critério de dominância diagonal, então não há garantia teórica de convergência. Mesmo assim, a regra do exercício manda iterar até 3 vezes ou até atingir a tolerância.
Passo 3
Vamos isolar cada para montar as fórmulas de Gauss–Seidel. Para isso, em cada equação colocamos num lado e o resto no outro:
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No Gauss–Seidel, na iteração usamos já os valores atualizados que já calculamos nessa mesma volta.