Determine uma fórmula de integração do tipo
integral0^1 f(x) d x approx a f(1 / 4)+b f(1 / 2)+c f(1)
que seja válida para todo polinômio de grau menor ou igual a 2 .

Passo 1

Beleza, a questão tá pedindo pra gente montar uma “regra de integração”
integral0^1 f(x),dx approx a,fl(tfrac14r) + b,fl(tfrac12r) + c,f(1)
que funcione certinho pra qualquer polinômio de grau até 2.
Conteúdo: integração numérica por fórmula de quadratura e exatidão para polinômios de grau ≤ 2.
O que precisamos: exigir que a regra dê o valor exato de integral0^1 x^k,dx para e resolver o sistema obtido para achar .

Passo 2

Aplicamos para integral0^1 1,dx = 1 (polinômio de grau 0):
acdot1 + bcdot1 + ccdot1 = a + b + c
e a regra dá
boxeda + b + c = 1
Logo a primeira equação é

Passo 3

Agora integral0^1 x,dx = tfrac12 (grau 1):
acdottfrac14 + bcdottfrac12 + ccdot1 = tfrac12
e a regra dá
boxedtfrac14,a + tfrac12,b + c = tfrac12
Nossa segunda equação é

Passo 4

Por fim integral0^1 x^2,dx = tfrac13 (grau 2):
al(tfrac14r)^2 + bl(tfrac12r)^2 + ccdot1^2 = tfrac13
e a regra dá
boxedtfrac116,a + tfrac14,b + c = tfrac13
Terceira equação:

Passo 5

Vamos resolver o sistema
(1) l(tfrac14-tfrac116r)a ;+;l(tfrac12-tfrac14r)b ;=;tfrac12-tfrac13 ;;Longrightarrow;; tfrac316a + tfrac14b = tfrac16
(2) 3a + 4b = tfrac166 = tfrac83 tag4
(3) tfrac14a + tfrac12b + (1-a-b) = tfrac12 ;;Longrightarrow;; -tfrac34a - tfrac12b = -tfrac12 ;;Longrightarrow;; 3a + 2b = 2 tag5 .
Primeiro, da (2)-(3):
Multiplica por 16:
Agora usamos (1) e (2) para outra combinação: da (2) substituindo :

Passo 6

Temos agora o sistema em (3a+4b)-(3a+2b) = tfrac83 - 2 ;;Longrightarrow;; 2b = tfrac83 - tfrac63 = tfrac23 ;;Longrightarrow;; b = tfrac13 :
(4) 3a + 2cdottfrac13 = 2 ;;Longrightarrow;; 3a + tfrac23 = 2 ;;Longrightarrow;; 3a = tfrac43 ;;Longrightarrow;; a = tfrac49
(5) c = 1 - a - b = 1 - tfrac49 - tfrac13 = 1 - tfrac49 - tfrac39 = tfrac29 .
Subtraindo (5) de (4):
Então, de (5):
E finalmente de (1):

Resposta

A fórmula de integração exata para polinômios de grau ≤ 2 é
boxedintegral0^1f(x),dx approx tfrac49,fl(tfrac14r) ;+;tfrac13,fl(tfrac12r) ;+;tfrac29,f(1)

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