que seja válida para todo polinômio de grau menor ou igual a 2 .
Passo 1
Beleza, a questão tá pedindo pra gente montar uma “regra de integração”
que funcione certinho pra qualquer polinômio de grau até 2.
Conteúdo: integração numérica por fórmula de quadratura e exatidão para polinômios de grau ≤ 2.
O que precisamos: exigir que a regra dê o valor exato de para e resolver o sistema obtido para achar .
Passo 2
Aplicamos para (polinômio de grau 0):
e a regra dá
Logo a primeira equação é
Passo 3
Agora (grau 1):
e a regra dá
Nossa segunda equação é
Passo 4
Por fim (grau 2):
e a regra dá
Terceira equação:
Passo 5
Vamos resolver o sistema
(1)
(2)
(3) .
Primeiro, da (2)-(3):
Multiplica por 16:
Agora usamos (1) e (2) para outra combinação: da (2) substituindo :
Passo 6
Temos agora o sistema em (3a+4b)-(3a+2b) = tfrac83 - 2 ;;Longrightarrow;; 2b = tfrac83 - tfrac63 = tfrac23 ;;Longrightarrow;; b = tfrac13 :
(4) 3a + 2cdottfrac13 = 2 ;;Longrightarrow;; 3a + tfrac23 = 2 ;;Longrightarrow;; 3a = tfrac43 ;;Longrightarrow;; a = tfrac49
(5) c = 1 - a - b = 1 - tfrac49 - tfrac13 = 1 - tfrac49 - tfrac39 = tfrac29 .
Subtraindo (5) de (4):
Então, de (5):
E finalmente de (1):
Resposta
A fórmula de integração exata para polinômios de grau ≤ 2 é