Encontre os pontos críticos de f(x, y)=x^3-2 x-y^2+y e classifique-os de pelo teste da segunda derivada.

Passo 1

Então, o exercício pede pra gente achar os pontos críticos da função
f(x, y)=x^3-2x - y^2 + y
e dizer se cada ponto é máximo, mínimo ou ponto de sela usando o teste da segunda derivada.
Isso é matéria de cálculo multivariable: a gente vai precisar calcular as derivadas parciais (gradiente) pra achar os pontos onde elas se anulam (pontos críticos) e depois usar as segundas derivadas (hessiana) pra classificar cada ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de :
  • .
  • .

Passo 3

Agora, achamos onde o gradiente é zero (isto é, l(, raiztfrac23,, tfrac12r) e l(-raiztfrac23,, tfrac12r) e ao mesmo tempo):
  1. .
  2. .
Logo, os pontos críticos são

Passo 4

Para classificar, calculamos as segundas derivadas:
fxx = partialpartial x(3x^2 - 2) = 6x, fyy = partialpartial y(-2y + 1) = -2, fxy = partialpartial y(3x^2 - 2) = 0
O determinante da hessiana é
D = fxx,fyy - (fxy)^2 = (6x)(-2) - 0 = -12x

Passo 5

A gente avalia e em cada ponto:
  1. No ponto :
    • .
    • Se , é ponto de sela.
  2. No ponto :
    • .
    • E .
    • Se e , é máximo local.

Resposta

Pontos críticos e classificação:
l(raiztfrac23,,tfrac12r) & ponto de sela,[6pt] l(-raiztfrac23,,tfrac12r) & máximo local á

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