Determine um intervalo (a, b) e uma função de iteração varphi(x) associada, de tal forma que forall x0 in(a, b), a função de iteração gere uma sequência convergente para a(s) raiz(es) de cada uma das funções abaixo, usando o método iterativo do ponto fixo
f2(x)=ln (x)-x+2.

Passo 1

Beleza, temos a função
f2(x)=ln(x)-x+2
e queremos resolver pelo método do ponto-fixo. Isso significa:
  1. Reescrevemos a equação num formato .
  2. Escolhemos um intervalo onde a iteração seja um CONTRAÇÃO (ou seja, ) e fique “dentro de si mesma” ( ).
  3. Pelo Teorema do Ponto-Fixo, qualquer chute inicial vai convergir para a única raiz.

Passo 2

Primeiro, fazemos
ln(x)-x+2=0 Longrightarrow ln(x)=x-2 Longrightarrow x=ln(x)+2
Então a nossa função de iteração é
varphi(x)=ln(x)+2

Passo 3

Agora precisamos achar um intervalo varphi'(x)=1x onde:
  1. mapeia dentro de .
  2. em todo .
Calculamos a derivada:
Se escolhermos, por exemplo, o intervalo , então:
  • Para todo , . Isso garante CONTRAÇÃO.
  • Além disso,

    e
    .
    Ou seja, .

Resposta

Intervalo:
Função de iteração:

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