Determine um intervalo
e uma função de iteração
associada, de tal forma que
, a função de iteração gere uma sequência convergente para a(s) raiz(es) de cada uma das funções abaixo, usando o método iterativo do ponto fixo
.
Passo 1
Beleza, temos a função
e queremos resolver
pelo método do ponto-fixo. Isso significa:
- Reescrevemos a equação
num formato . - Escolhemos um intervalo
onde a iteração seja um CONTRAÇÃO (ou seja, ) e fique “dentro de si mesma” ( ). - Pelo Teorema do Ponto-Fixo, qualquer chute inicial
vai convergir para a única raiz.
Passo 2
Primeiro, fazemos
Então a nossa função de iteração é
Passo 3
Agora precisamos achar um intervalo
onde:
-
mapeia dentro de . -
em todo .
Calculamos a derivada:
Se escolhermos, por exemplo, o intervalo
, então:
- Para todo
, . Isso garante CONTRAÇÃO. - Além disso,
e
.
Ou seja,.
Resposta
Intervalo:
Função de iteração:
Função de iteração: