Quanto aos erros encontrados nos métodos numéricos:
a) Quais são as possíveis fontes destes erros?
b) Exemplifique.
a) Quais são as possíveis fontes destes erros?
b) Exemplifique.
Passo 1
Beleza, o enunciado pergunta sobre “erros nos métodos numéricos”:
Conteúdo da matéria: erros em cálculo numérico (modelo, truncamento, arredondamento, etc.).
O que vamos precisar: entender de onde vêm esses erros (teoria) e mostrar exemplos práticos.
Conteúdo da matéria: erros em cálculo numérico (modelo, truncamento, arredondamento, etc.).
O que vamos precisar: entender de onde vêm esses erros (teoria) e mostrar exemplos práticos.
Passo 2
Antes de ver exemplos, vamo listar e explicar as principais fontes de erro:
- Erro de arredondamento (round-off)
- Computador representa números no formato de ponto flutuante finito.
- Ex.: tentar guardar 0,1 em binário dá coisa tipo 0,0001100110011… que trava num ponto e provoca pequenos desvios.
- Erro de truncamento (truncation)
- Acontece quando a gente “corta” uma série infinita ou uma integração em etapas finitas.
- Ex.: expandir
pela série de Taylor e parar em termos:
sobra um resto que gerou erro.
3) Erro de discretização
- Quando transformamos um problema contínuo (derivada, integral) em passos finitos.
- Ex.: método de Euler para ODEs usa
e “h” grande deixa a aproximação ruim.
- Erro de modelagem
- O próprio modelo matemático simplifica a realidade (supondo, por exemplo, fluido incompressível).
- Propagação de erro
- Pequenos erros nas etapas anteriores acumulam e podem crescer (dependendo da estabilidade do método).
Passo 3
Agora sim, exemplos práticos para cada caso:
a) Arredondamento:
a) Arredondamento:
- Soma “20000000 + 1 – 20000000” em ponto flutuante pode dar zero em vez de 1.
b) Truncamento: - Calcular
pela série de Taylor e usar só 3 termos:
Paraisso já dá diferença visível.
c) Discretização:
- Resolvercom Euler e passo : erro gigante comparado a usar .
d) Modelagem:
- Simular escoamento de ar na asa de um avião como fluido “perfeito” e esquecer viscosidade gera desvio.
e) Propagação:
- Em métodos iterativos de raiz (Newton), erro pequeno na primeira iteração pode explodir se o método for instável.
Resposta
a) Principais fontes de erro em métodos numéricos:
- Erro de arredondamento (round-off)
- Erro de truncamento (truncation)
- Erro de discretização
- Erro de modelagem
- Propagação de erro
b) Exemplos:
• Arredondamento: representação de 0,1 em binário truncado.
• Truncamento: série de Taylor de ou de
cortada em poucos termos.
• Discretização: método de Euler com passo grande ao resolver ODEs.
• Modelagem: hipótese de fluido incompressível em simulações aerodinâmicas.
• Propagação: método de Newton mal condicionado que amplifica erros iniciais.
• Arredondamento: representação de 0,1 em binário truncado.
• Truncamento: série de Taylor de
• Discretização: método de Euler com passo grande ao resolver ODEs.
• Modelagem: hipótese de fluido incompressível em simulações aerodinâmicas.
• Propagação: método de Newton mal condicionado que amplifica erros iniciais.