Quanto aos erros encontrados nos métodos numéricos:
a) Quais são as possíveis fontes destes erros?
b) Exemplifique.

Passo 1

Beleza, o enunciado pergunta sobre “erros nos métodos numéricos”:
Conteúdo da matéria: erros em cálculo numérico (modelo, truncamento, arredondamento, etc.).
O que vamos precisar: entender de onde vêm esses erros (teoria) e mostrar exemplos práticos.

Passo 2

Antes de ver exemplos, vamo listar e explicar as principais fontes de erro:
  1. Erro de arredondamento (round-off)
    • Computador representa números no formato de ponto flutuante finito.
    • Ex.: tentar guardar 0,1 em binário dá coisa tipo 0,0001100110011… que trava num ponto e provoca pequenos desvios.
  2. Erro de truncamento (truncation)
    • Acontece quando a gente “corta” uma série infinita ou uma integração em etapas finitas.
    • Ex.: expandir e^x pela série de Taylor e parar em n termos: e^x approx 1 + x + x^22! + cdots + x^nn!
      sobra um resto que gerou erro.
      3) Erro de discretização
      - Quando transformamos um problema contínuo (derivada, integral) em passos finitos.
      - Ex.: método de Euler para ODEs usa
      yk+1=yk + h,f(xk,yk),e “h” grande deixa a aproximação ruim.
  3. Erro de modelagem
    • O próprio modelo matemático simplifica a realidade (supondo, por exemplo, fluido incompressível).
  4. Propagação de erro
    • Pequenos erros nas etapas anteriores acumulam e podem crescer (dependendo da estabilidade do método).

Passo 3

Agora sim, exemplos práticos para cada caso:
a) Arredondamento:
  • Soma “20000000 + 1 – 20000000” em ponto flutuante pode dar zero em vez de 1.
    b) Truncamento:
  • Calcular sin(x) pela série de Taylor e usar só 3 termos: sin(x)approx x-x^36+x^5120
    Para x=1 isso já dá diferença visível.
    c) Discretização:
    - Resolver y'=y com Euler e passo h=1: erro gigante comparado a usar h=0,1.
    d) Modelagem:
    - Simular escoamento de ar na asa de um avião como fluido “perfeito” e esquecer viscosidade gera desvio.
    e) Propagação:
    - Em métodos iterativos de raiz (Newton), erro pequeno na primeira iteração pode explodir se o método for instável.

Resposta

a) Principais fontes de erro em métodos numéricos:
  1. Erro de arredondamento (round-off)
  2. Erro de truncamento (truncation)
  3. Erro de discretização
  4. Erro de modelagem
  5. Propagação de erro
b) Exemplos:
• Arredondamento: representação de 0,1 em binário truncado.
• Truncamento: série de Taylor de e^x ou de sin(x) cortada em poucos termos.
• Discretização: método de Euler com passo grande ao resolver ODEs.
• Modelagem: hipótese de fluido incompressível em simulações aerodinâmicas.
• Propagação: método de Newton mal condicionado que amplifica erros iniciais.

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