Determinar todas as raízes do polinômio
utilizando o método de Newton-Raphson e o método de Horner para o cálculo da primeira raiz.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para achar todas as raízes do polinômio
usando o método de Newton–Raphson (pra achar a primeira raiz) e o método de Horner (tanto pra avaliar o polinômio e sua derivada quanto pra dividir/deflacionar depois).
Conteúdo: iterações de Newton, avaliação rápida de polinômios e divisão sintética (Horner), e resolução de equação quadrática. Vamos precisar:
- Regra de Newton–Raphson:
- Método de Horner pra avaliare dividir por
- Fómula de Bhaskara pra achar as duas raízes restantes.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a derivada do polinômio:
No Newton–Raphson, a gente escolhe um chute inicial
Pra facilitar, vou usar Horner pra calcular
e
de forma rápida.
Passo 3
Escolho
. Primeiro, avaliando
por Horner:
Coeficientes de : 1 ;|;-5;|;-1;|;5
Chute :
Coeficientes de
Chute
- Desço o “1”.
- Multiplico por 2 → 2, somo a
→ . - Multiplico
por 2 → , somo a → . - Multiplico
por 2 → , somo a → .
Logo.
Agora
, avaliado normalmente ou também por Horner (coeficientes 3, -10, -1):
.
Passo 4
Aplicando Newton:
Achamos nossa primeira raiz:
Passo 5
Agora usamos Horner pra dividir
por
e achar o polinômio de segundo grau resultante.
Coeficientes originais: 1 ;|;-5;|;-1;|;5 e divisão sintética por 1:
Coeficientes originais: 1 ;|;-5;|;-1;|;5 e divisão sintética por 1:
- Desço 1.
- 1×1=1, somo a -5 → -4.
- -4×1=-4, somo a -1 → -5.
- -5×1=-5, somo a 5 → 0 (resto).
Quociente:.
Passo 6
Agora resolvo
com a fórmula de Bhaskara:
As soluções são
Resposta
As raízes de
são