Determinar todas as raízes do polinômio
f(x)=x^3-5 x^2-x+5=0
utilizando o método de Newton-Raphson e o método de Horner para o cálculo da primeira raiz.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para achar todas as raízes do polinômio
f(x)=x^3-5x^2 -x+5=0
usando o método de Newton–Raphson (pra achar a primeira raiz) e o método de Horner (tanto pra avaliar o polinômio e sua derivada quanto pra dividir/deflacionar depois).
Conteúdo: iterações de Newton, avaliação rápida de polinômios e divisão sintética (Horner), e resolução de equação quadrática. Vamos precisar:
  • Regra de Newton–Raphson: xn+1=xn-f(xn)f'(xn)
    - Método de Horner pra avaliar e dividir por
    - Fómula de Bhaskara pra achar as duas raízes restantes.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a derivada do polinômio:
f'(x)=3x^2-10x-1,
No Newton–Raphson, a gente escolhe um chute inicial xn+1=xn-f(xn)f'(xn), e refina com
Pra facilitar, vou usar Horner pra calcular e de forma rápida.

Passo 3

Escolho . Primeiro, avaliando por Horner:
Coeficientes de : 1 ;|;-5;|;-1;|;5
Chute :
  1. Desço o “1”.
  2. Multiplico por 2 → 2, somo a .
  3. Multiplico por 2 → , somo a .
  4. Multiplico por 2 → , somo a .
    Logo .
Agora , avaliado normalmente ou também por Horner (coeficientes 3, -10, -1):
.

Passo 4

Aplicando Newton:
x1 = 2 - f(2)f'(2) = 2 - -9-9 = 2 - 1 = 1,
Achamos nossa primeira raiz: . Fácil, né?

Passo 5

Agora usamos Horner pra dividir por e achar o polinômio de segundo grau resultante.
Coeficientes originais: 1 ;|;-5;|;-1;|;5 e divisão sintética por 1:
  • Desço 1.
  • 1×1=1, somo a -5 → -4.
  • -4×1=-4, somo a -1 → -5.
  • -5×1=-5, somo a 5 → 0 (resto).
    Quociente: .

Passo 6

Agora resolvo x=4pmraiz(-4)^2-4cdot1cdot(-5)2 =4pmraiz16+202 =4pmraiz362 =4pm62, com a fórmula de Bhaskara:
x=4+62=5, x=4-62=-1,
As soluções são

Resposta

As raízes de boxedx1=1, x2=5, x3=-1 são

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