O método de Runge-Kutta de 20 grau calcula a solução y(x) de um Problema de Valor Inicial y^prime(x)=f(x, y(x)), y(x0)=y0, x in[a, b] de forma iterativa, de acordo com a fórmula:
yi+1=yi+12[k1+k2]
sendo k1=h f(xi, yi), k2=h f(xi+1, yi+k1), com xi+1=xi+h, onde h é o tamanho do passo.
Dado o P.V.I. y^prime-x y^2+1=0, y(0)=2, h=0.2, calcular uma aproximação para y(0.6) utilizando o método de Runge-Kutta de 2 ell grau.

Passo 1

Resumo: a gente tem o P.V.I.
y'(x)-x,y(x)^2+1=0, y(0)=2,
ou seja
y' = f(x,y)=x,y^2-1,
e quer achar usando o método de Runge–Kutta de 2º grau (ou RK2) com passo .
Conteúdo: método numérico para P.V.I.
O que precisamos: fórmula do RK2, a função , o passo , e iterar de até .

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula do RK2 (ou método do ponto médio simplificado):
k1 = h,f(xi,yi), k2 = h,f(xi+h,,yi+k1),
yi+1=yi+tfrac12,(k1+k2), xi+1=xi+h
Começamos com k1=0.2,(0cdot2^2-1)=0.2cdot(-1)=-0.2, , k2=0.2,[,0.2cdot(2+(-0.2))^2-1,] =0.2,[,0.2cdot1.8^2-1,] =0.2,(0.648-1)=-0.0704 .
Para y1=2+tfrac12(-0.2-0.0704)=2-0.1352=1.8648, :
x1=0.2
Então

Passo 3

Agora k1=0.2,[,0.2cdot1.8648^2-1,] =0.2,(0.6957-1)=-0.06086, , com k2=0.2,[,0.4cdot(1.8648-0.06086)^2-1,] =0.2,(0.4cdot1.80394^2-1) =0.2,(1.3017-1)=0.06034 , y2=1.8648+tfrac12(-0.06086+0.06034) =1.8648-0.00026=1.86454, :
x2=0.4
Logo

Passo 4

Por fim k1=0.2,[,0.4cdot1.86454^2-1,] =0.2,(1.3910-1)=0.07820, , com k2=0.2,[,0.6cdot(1.86454+0.07820)^2-1,] =0.2,(0.6cdot1.94274^2-1) =0.2,(2.2645-1)=0.25290 , y3=1.86454+tfrac12(0.07820+0.25290) =1.86454+0.16555=2.03009, :
x3=0.6
Assim

Resposta

A aproximação pelo método de Runge–Kutta de 2º grau para boxed2.0301 é

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