Encontre a função do tipo f(x)=a b^x que melhor aproxima os pontos (x, f(x))=(0,3.1),(1,4.4) e (2,6.7). Ou seja, encontre a, b in R que minimizem a função:
R(a, b)=(3.1-f(0))^2+(4.4-f(1))^2+(6.7-f(2))^2

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar uma função exponencial
f(x)=a,b^x
que “melhor” aproxima os pontos
(0,3.1),;(1,4.4);e;(2,6.7)
no sentido de deixar pequena a soma dos quadrados dos erros
R(a,b)=(3.1-f(0))^2+(4.4-f(1))^2+(6.7-f(2))^2,
Conteúdo: ajuste exponencial via mínimos quadrados e cálculo de derivadas parciais.

Passo 2

Vamos escrever explicitamente
R(a,b)=sumx=0^2l(yx - a,b^xr)^2,onde (x,yx)=(0,3.1),(1,4.4),(2,6.7)
Pra achar mínimo, igualamos as derivadas parciais a zero.
Derivada em relação a a:
partial Rpartial a=-2sumx=0^2l(yx - a,b^xr),b^x=0
Isso dá
sumx=0^2 yx,b^x ;=;asumx=0^2 b^2x
ou seja,
3.1 + 4.4,b + 6.7,b^2 ;=;a,(1 + b^2 + b^4),
Isolando boxeda = 3.1 + 4.4,b + 6.7,b^21 + b^2 + b^4, :

Passo 3

Agora a derivada em relação a b:
$$\frac{\partial R}{\partial b}=-2\sum_{x=0}^2\bigl(y_x - a,b^x\bigr),\frac{\partial (a,b^x)}{\partial b}
=-2a\sum_{x=0}^2\bigl(y_x - a,bx\bigr),x,b{x-1}=0,. \sum_{x=0}^2 x,y_x,b^x = a\sum_{x=0}^2 x,b^{2x},. $$
Com os números:
partial Rpartial b=-2sumx=0^2l(yx - a,b^xr),partial (a,b^x)partial b =-2asumx=0^2l(yx - a,b^xr),x,b^x-1=0,
Substituindo sumx=0^2 x,yx,b^x = asumx=0^2 x,b^2x, da etapa anterior, chegamos a
$$(4.4,b + 13.4,b^2),(1 + b^2 + b^4)
=(3.1 + 4.4,b + 6.7,b2),(b2 + 2,b^4),. $$

Passo 4

Expandindo e simplificando essa igualdade a gente obtém o polinômio
8.8,b^4 - b^3 -20.6,b -8.8 = 0,
Não dá pra resolver isso em fórmula fechada fácil, então a gente faz um chute refinado (método numérico simples):
testando valores, encontra-se
boxedbapprox1.485,

Passo 5

Com a ;=;3.1 + 4.4cdot1.485 + 6.7cdot(1.485)^21 + (1.485)^2 + (1.485)^4 ;approx;3.03, voltamos na fórmula de :
$$a ;=;\frac{3.1 + 4.4\cdot1.485 + 6.7\cdot(1.485)^2}{1 + (1.485)^2 + (1.485)^4}
;\approx;3.03,. $$

Resposta

A função exponencial que melhor ajusta os pontos pelos mínimos quadrados é
boxedf(x)approx3.03;times;1.485^x,

Exercícios relacionados