Encontre a função do tipo
que melhor aproxima os pontos
e
. Ou seja, encontre
que minimizem a função:
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar uma função exponencial
que “melhor” aproxima os pontos
no sentido de deixar pequena a soma dos quadrados dos erros
Conteúdo: ajuste exponencial via mínimos quadrados e cálculo de derivadas parciais.
Passo 2
Vamos escrever explicitamente
Pra achar mínimo, igualamos as derivadas parciais a zero.
Derivada em relação a
:
Isso dá
ou seja,
Isolando
Passo 3
Agora a derivada em relação a
:
$$\frac{\partial R}{\partial b}=-2\sum_{x=0}^2\bigl(y_x - a,b^x\bigr),\frac{\partial (a,b^x)}{\partial b}
=-2a\sum_{x=0}^2\bigl(y_x - a,bx\bigr),x,b{x-1}=0,. \sum_{x=0}^2 x,y_x,b^x = a\sum_{x=0}^2 x,b^{2x},. $$
Com os números:
Substituindo
$$(4.4,b + 13.4,b^2),(1 + b^2 + b^4)
=(3.1 + 4.4,b + 6.7,b2),(b2 + 2,b^4),. $$
Passo 4
Expandindo e simplificando essa igualdade a gente obtém o polinômio
Não dá pra resolver isso em fórmula fechada fácil, então a gente faz um chute refinado (método numérico simples):
testando valores, encontra-se
Passo 5
Com
voltamos na fórmula de
:
$$a ;=;\frac{3.1 + 4.4\cdot1.485 + 6.7\cdot(1.485)^2}{1 + (1.485)^2 + (1.485)^4}
;\approx;3.03,. $$
Resposta
A função exponencial que melhor ajusta os pontos pelos mínimos quadrados é