Sendo a=xo, onde xi+1=xi+h, o valor aproximado de I=integrala^b f(x) dx pode ser calculado como:
Regra do Trapézios: I approx h2[f(x0)+2 f(x1)+2 f(x2)+ldots+2 f(xn-1)+f(xn)], com erro de truncamento |E| <= b-a12 h^2 M, onde M >=|f^prime prime(x)|, x in[a, b].
Regra de Simpson: I approx h3[f(x0)+4 f(x1)+2 f(x2)+ldots+2 f(xn-2)+4 f(xn-1)+f(xn)], com erro de truncamento |E| <= b-a180 h^4 M, onde M >=|f^(i v)(x)|, x in[a, b].
Calcule o valor da integral integral0^pi cos (x) d x :
Calcule o número de subintervalos que garante erros menores que 10^-4 em cada caso.

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma integral
I = integral0^pi cos(x),dx
e queremos saber quantos subintervalos precisamos usar na Regra do Trapézio e na Regra de Simpson para que o erro de aproximação seja menor que .
Conteúdo: métodos numéricos de integração (Trapézio e Simpson) e uso das fórmulas de erro delas. Vamos precisar:
  • A fórmula do erro do Trapézio:
    com .
  • A fórmula do erro de Simpson:
    com .
  • Saber que , aqui .

Passo 2

Primeiro, rapidinho, o valor exato da integral serve pra confirmar que nossa aproximação faz sentido:
integral0^picos(x),dx = sin(x)|0^pi = sin(pi)-sin(0)=0-0=0
Ou seja, o “verdadeiro” .

Passo 3

Regra do Trapézio:
Erro satisfeito por
|ET|<= b-a12,h^2,M =pi12l(tfracpinr)^2,M
Aqui pi12,pi^2n^2 < 10^-4 ;Longrightarrow; pi^312,n^2 < 10^-4 ;Longrightarrow; n^2 > pi^312cdot10^-4 tem n^2 > 31,0061,2times10^-3approx2,58times10^4 ;Longrightarrow; n > raiz2,58times10^4approx160,75 , logo , então .
Queremos
Numericamente , logo
Como é inteiro, precisamos de .

Passo 4

Regra de Simpson:
Erro satisfeito por
|ES|<= b-a180,h^4,M =pi180l(tfracpinr)^4,M
Aqui pi180,pi^4n^4<10^-4 ;Longrightarrow; pi^5180,n^4<10^-4 ;Longrightarrow; n^4 > pi^5180cdot10^-4 , de novo n^4 > 306,021,8times10^-2approx1,70times10^4 ;Longrightarrow; n > l(1,70times10^4r)^1/4approx11,42 , então .
Queremos
Numericamente , então
Simpson exige par, logo o mínimo é .

Resposta

  • Integral exata: .
  • Trapézio: .
  • Simpson: .

Exercícios relacionados